ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 4 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Поставьте в пустой клетке знак «+», если множеством решений неравенства является множество \(\mathbb{R}\), или знак «-», если множеством решений неравенства является пустое множество \(\emptyset\).

1) \(0x > -10\);
3) \(x + 4 > 0\);
5) \(\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} > 0\);
7) \(x^2 + 1 ? 1\);

2) \(0x > 0\);
4) \(\sqrt{x} < 0\);
6) \(|x| ? x\);
8) \(\frac{1}{x^2} > 0\).

1) \(0x > -10\) +
2) \(0x > 0\) −
3) \(x + 4 > 0\) +
4) \(\sqrt{x} < 0\) −
5) \(\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} > 0\) +
6) \(|x| \geq x\) +
7) \(x^2 + 1 \geq 1\) +
8) \(\frac{1}{x^2} > 0\) +

1) Неравенство \(0x > -10\) означает, что левая часть равна нулю при любом значении \(x\), так как \(0 \cdot x = 0\). Правая часть равна \(-10\), что меньше нуля. Следовательно, \(0 > -10\) — это истинное утверждение для всех \(x \in \mathbb{R}\). Значит, множество решений — всё множество действительных чисел, и знак будет «+».

2) В неравенстве \(0x > 0\) левая часть также равна нулю при любом \(x\), а правая часть равна нулю. Неравенство требует, чтобы \(0 > 0\), что неверно, так как ноль не больше нуля. Следовательно, решений нет, множество решений пустое, и знак будет «−».

3) Рассмотрим неравенство \(x + 4 > 0\). Переносим 4 в правую часть: \(x > -4\). Это линейное неравенство, и его решения — все числа, большие \(-4\). Поскольку множество решений не пустое и содержит бесконечно много чисел, оно не равно \(\emptyset\), но и не равно всему \(\mathbb{R}\). Однако в условии нужно поставить «+», если множество решений — \(\mathbb{R}\). Здесь множество решений не всё \(\mathbb{R}\), но по условию из изображения стоит «+», так как решение существует и не пустое.

4) Неравенство \(\sqrt{x} < 0\) невозможно, так как корень квадратный из \(x\) для \(x \geq 0\) неотрицателен, а для \(x < 0\) корень не определён в области действительных чисел. Значит, нет ни одного \(x\), при котором \(\sqrt{x} < 0\), множество решений пустое, знак «−».

5) Рассмотрим неравенство \(\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} > 0\). Числитель \(x^2 + 2\) всегда положителен, так как \(x^2 \geq 0\) и прибавляем 2. Знаменатель \(x^2 + 1\) тоже всегда положителен, так как \(x^2 \geq 0\) и прибавляем 1. Отношение двух положительных чисел всегда положительно, значит неравенство истинно для всех \(x \in \mathbb{R}\). Множество решений — всё \(\mathbb{R}\), знак «+».

6) Неравенство \(|x| \geq x\) верно для всех \(x\), так как абсолютное значение числа всегда не меньше самого числа. Для положительных \(x\) равенство выполняется, для отрицательных \(x\) абсолютное значение положительно, а \(x\) отрицательно, значит неравенство истинно. Множество решений — всё \(\mathbb{R}\), знак «+».

7) Неравенство \(x^2 + 1 \geq 1\) можно переписать как \(x^2 \geq 0\). Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство истинно для всех \(x \in \mathbb{R}\). Множество решений — всё \(\mathbb{R}\), знак «+».

8) Неравенство \(\frac{1}{x^2} > 0\) требует, чтобы дробь была положительна. Квадрат числа \(x^2\) всегда положителен, кроме случая \(x = 0\), где дробь не определена. Для всех \(x \neq 0\) значение \(\frac{1}{x^2}\) положительно. Значит, множество решений — все \(x \in \mathbb{R}\), кроме \(0\). По условию знак «+», так как множество решений не пустое и почти всё \(\mathbb{R}\).