ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите неравенство одним из способов, рассмотренных в задании 14:
1) -3 < 1 - х < 4; 2) -6 ? 10 - 2х ? 6; 3) 1 ? x/2 - 3 ? 2; 4) 0,5 < (x+5)/6 ? 2,5.

1) \(-3 < 1 - x < 4.\) Вычитая из каждой части данного неравенства число 1, получаем: \(-3 - 1 < 1 - x - 1 < 4 - 1\) \(-4 < -x < 3.\) Разделив каждую часть полученного неравенства на \((-1)\), получаем: \(-4 < -x < 3 \quad | : (-1)\) \(4 > x > -3\)
\(-3 < x < 4 \Rightarrow (-3; 4).\) Ответ: \((-3; 4).\) 2) \(-6 \leq 10 - 2x \leq 6.\) Данное неравенство равносильно системе неравенств: \(\begin{cases} 10 - 2x \geq -6 \\ 10 - 2x \leq 6 \end{cases}\) \(\begin{cases} -2x \geq -6 - 10 \\ -2x \leq 6 - 10 \end{cases}\) \(\begin{cases} -2x \geq -16 \\ -2x \leq -4 \end{cases}\) \(\begin{cases} x \leq 8 \\ x \geq 2 \end{cases} \Rightarrow [2; 8].\) Ответ: \([2; 8].\) 3) \(1 \leq \frac{x}{2} - 3 \leq 2.\) Данное неравенство равносильно системе неравенств: \(\begin{cases} \frac{x}{2} - 3 \geq 1 \\ \frac{x}{2} - 3 \leq 2 \end{cases}\) \(\begin{cases} \frac{x}{2} \geq 1 + 3 \\ \frac{x}{2} \leq 2 + 3 \end{cases}\) \(\begin{cases} \frac{x}{2} \geq 4 \\ \frac{x}{2} \leq 5 \end{cases}\) \(\begin{cases} x \geq 8 \\ x \leq 10 \end{cases} \Rightarrow [8; 10].\) Ответ: \([8; 10].\) 4) \(0{,}5 < \frac{x + 5}{6} \leq 2{,}5.\) Умножив каждую часть полученного неравенства на 6, получаем: \(0{,}5 \cdot 6 < \frac{x + 5}{6} \cdot 6 \leq 2{,}5 \cdot 6\) \(3 < x + 5 \leq 15.\) Вычитая из каждой части данного неравенства число 5, получаем: \(3 - 5 < x + 5 - 5 \leq 15 - 5\) \(-2 < x \leq 10\) Ответ: \((-2; 10].\)

1) \(-3 < 1 - x < 4.\) Вычитая из каждой части данного неравенства число 1, получаем: \(-3 - 1 < 1 - x - 1 < 4 - 1\) \(-4 < -x < 3.\) Разделив каждую часть полученного неравенства на \((-1)\), получаем: \(-4 < -x < 3 \quad | : (-1)\) \(4 > x > -3\)
\(-3 < x < 4 \Rightarrow (-3; 4).\) Ответ: \((-3; 4).\) 2) \(-6 \leq 10 - 2x \leq 6.\) Данное неравенство равносильно системе неравенств: \(\begin{cases} 10 - 2x \geq -6 \\ 10 - 2x \leq 6 \end{cases}\) \(\begin{cases} -2x \geq -6 - 10 \\ -2x \leq 6 - 10 \end{cases}\) \(\begin{cases} -2x \geq -16 \\ -2x \leq -4 \end{cases}\) \(\begin{cases} x \leq 8 \\ x \geq 2 \end{cases} \Rightarrow [2; 8].\) Ответ: \([2; 8].\) 3) \(1 \leq \frac{x}{2} - 3 \leq 2.\) Данное неравенство равносильно системе неравенств: \(\begin{cases} \frac{x}{2} - 3 \geq 1 \\ \frac{x}{2} - 3 \leq 2 \end{cases}\) \(\begin{cases} \frac{x}{2} \geq 1 + 3 \\ \frac{x}{2} \leq 2 + 3 \end{cases}\) \(\begin{cases} \frac{x}{2} \geq 4 \\ \frac{x}{2} \leq 5 \end{cases}\) \(\begin{cases} x \geq 8 \\ x \leq 10 \end{cases} \Rightarrow [8; 10].\) Ответ: \([8; 10].\) 4) \(0{,}5 < \frac{x + 5}{6} \leq 2{,}5.\) Умножив каждую часть полученного неравенства на 6, получаем: \(0{,}5 \cdot 6 < \frac{x + 5}{6} \cdot 6 \leq 2{,}5 \cdot 6\) \(3 < x + 5 \leq 15.\) Вычитая из каждой части данного неравенства число 5, получаем: \(3 - 5 < x + 5 - 5 \leq 15 - 5\) \(-2 < x \leq 10\) Ответ: \((-2; 10].\) Рассмотрим первое неравенство \( -3 < 1 - x < 4 \). Чтобы решить его, нужно избавиться от числа 1, стоящего в середине выражения, так как это упростит понимание и позволит выделить переменную \( x \). Для этого вычтем 1 из всех трёх частей неравенства. Получается: \( -3 - 1 < 1 - x - 1 < 4 - 1 \), что упрощается до \( -4 < -x < 3 \). Теперь мы видим неравенство с переменной \( -x \), и нам нужно выразить \( x \). Далее, чтобы избавиться от минуса перед \( x \), разделим все части неравенства на \(-1\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому \( -4 < -x < 3 \) превращается в \( 4 > x > -3 \). Это можно переписать в более привычном порядке как \( -3 < x < 4 \). Таким образом, множество решений неравенства — все числа \( x \), которые лежат между \(-3\) и \( 4 \), не включая сами границы. Ответ для первого неравенства — интервал \( (-3; 4) \), что означает, что \( x \) может принимать любое значение строго больше \(-3\) и строго меньше \( 4 \). Такой подход с вычитанием и делением на отрицательное число — стандартный при решении двойных неравенств, позволяющий последовательно упростить выражение и найти множество решений. Рассмотрим второе неравенство \( -6 \leq 10 - 2x \leq 6 \). Чтобы решить его, удобно разбить на две части, так как оно представляет собой двойное неравенство. Первая часть: \( 10 - 2x \geq -6 \), вторая часть: \( 10 - 2x \leq 6 \). Решим каждую отдельно. Из первой части вычтем 10: \( -2x \geq -6 - 10 \), то есть \( -2x \geq -16 \). Из второй части также вычтем 10: \( -2x \leq 6 - 10 \), то есть \( -2x \leq -4 \). Теперь, чтобы найти \( x \), разделим обе части каждого неравенства на \(-2\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Первая часть: \( -2x \geq -16 \) делится на \(-2\), получаем \( x \leq 8 \). Вторая часть: \( -2x \leq -4 \) делится на \(-2\), получаем \( x \geq 2 \). Объединяя оба условия, получаем систему \( 2 \leq x \leq 8 \), то есть \( x \) находится на отрезке от 2 до 8 включительно. Ответ для второго неравенства — отрезок \( [2; 8] \), что означает, что \( x \) может принимать любое значение от 2 до 8, включая сами границы. Такой способ решения показывает, как важно учитывать изменение знаков при делении на отрицательные числа и как двойные неравенства разбиваются на две части для удобства решения. Рассмотрим третье неравенство \( 1 \leq \frac{x}{2} - 3 \leq 2 \). Как и раньше, сначала избавимся от числа \(-3\) в середине, прибавив 3 к каждой части неравенства. Получим: \( 1 + 3 \leq \frac{x}{2} - 3 + 3 \leq 2 + 3 \), что упрощается до \( 4 \leq \frac{x}{2} \leq 5 \). Теперь нам нужно избавиться от деления на 2, чтобы выразить \( x \). Умножим каждую часть неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знаки неравенств сохраняются. Получаем: \( 4 \cdot 2 \leq \frac{x}{2} \cdot 2 \leq 5 \cdot 2 \), то есть \( 8 \leq x \leq 10 \). Таким образом, \( x \) принимает значения на отрезке от 8 до 10 включительно. Ответ для третьего неравенства — отрезок \( [8; 10] \). Этот пример показывает, как важно последовательно избавляться от слагаемых и коэффициентов, чтобы выразить переменную, и как сохранять правильные знаки неравенств при умножении или делении на положительные числа. Рассмотрим четвёртое неравенство \( 0{,}5 < \frac{x + 5}{6} \leq 2{,}5 \). Чтобы избавиться от знаменателя 6, умножим все части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, знаки неравенств останутся без изменений. Получим: \( 0{,}5 \cdot 6 < \frac{x + 5}{6} \cdot 6 \leq 2{,}5 \cdot 6 \), что упрощается до \( 3 < x + 5 \leq 15 \). Теперь вычтем 5 из каждой части неравенства, чтобы изолировать \( x \). Получаем: \( 3 - 5 < x + 5 - 5 \leq 15 - 5 \), то есть \( -2 < x \leq 10 \). Таким образом, \( x \) может принимать значения строго больше \(-2\) и меньше либо равные 10. Ответ для четвёртого неравенства — полуоткрытый интервал \( (-2; 10] \). Этот пример демонстрирует, как работать с дробными коэффициентами и как правильно выполнять операции с неравенствами, чтобы получить конечное множество решений для переменной.