ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 24 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

1)
\(-1 \leq \frac{5x+1}{4} \leq 4 \, | \cdot 4\)
\(-4 \leq 5x+1 \leq 16\)
\(-4 \leq 5x+1 \leq 16 \, | -1\)
\(-5 \leq 5x \leq 15 \, | :5\)
\(-1 \leq x \leq 3\)

\(\frac{x+1}{3} \geq \frac{x-2}{2} \, | \cdot 6\)
\(2(x+1) \geq 3(x-2)\)
\(2x+2 \geq 3x-6\)
\(-x \geq -8\)
\(x \leq 8\)

Система:
\(-1 \leq x \leq 3\)
\(x \leq 2\)

Ответ: \([-1;2]\).

2)
\(-5 \leq \frac{-3x-1}{2} \leq 2 \, | \cdot 2\)
\(-10 \leq -3x-1 \leq 4 \, | +1\)
\(-9 \leq -3x \leq 5 \, | :(-3)\)
\(3 \geq x \geq -\frac{5}{3}\)

\(\frac{x-1}{2} \leq \frac{x+1}{3} \, | \cdot 6\)
\(3(x-1) \leq 2(x+1)\)
\(3x-3 \leq 2x+2\)
\(x \leq 5\)

Система:
\(-\frac{5}{3} \leq x \leq 3\)
\(x \leq 5\)

Ответ: \([- \frac{5}{3}; 3]\).

1)
\(-1 \leq \frac{5x+1}{4} \leq 4 \, | \cdot 4\)
\(-4 \leq 5x+1 \leq 16\)
\(-4 \leq 5x+1 \leq 16 \, | -1\)
\(-5 \leq 5x \leq 15 \, | :5\)
\(-1 \leq x \leq 3\)

\(\frac{x+1}{3} \geq \frac{x-2}{2} \, | \cdot 6\)
\(2(x+1) \geq 3(x-2)\)
\(2x+2 \geq 3x-6\)
\(-x \geq -8\)
\(x \leq 8\)

Система:
\(-1 \leq x \leq 3\)
\(x \leq 2\)

Ответ: \([-1;2]\).

2)
\(-5 \leq \frac{-3x-1}{2} \leq 2 \, | \cdot 2\)
\(-10 \leq -3x-1 \leq 4 \, | +1\)
\(-9 \leq -3x \leq 5 \, | :(-3)\)
\(3 \geq x \geq -\frac{5}{3}\)

\(\frac{x-1}{2} \leq \frac{x+1}{3} \, | \cdot 6\)
\(3(x-1) \leq 2(x+1)\)
\(3x-3 \leq 2x+2\)
\(x \leq 5\)

Система:
\(-\frac{5}{3} \leq x \leq 3\)
\(x \leq 5\)

Ответ: \([- \frac{5}{3}; 3]\).

Для решения первого неравенства системы, начнем с преобразования двойного неравенства:

\(-1 \leq \frac{5x+1}{4} \leq 4\).

Умножим обе части двойного неравенства на \(4\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(-1 \cdot 4 \leq (5x+1) \leq 4 \cdot 4\),

что дает:

\(-4 \leq 5x+1 \leq 16\).

Теперь вычтем \(1\) из всех частей неравенства:

\(-4 — 1 \leq 5x+1 — 1 \leq 16 — 1\),

получаем:

\(-5 \leq 5x \leq 15\).

Разделим все части на \(5\), чтобы найти \(x\):

\(-\frac{5}{5} \leq \frac{5x}{5} \leq \frac{15}{5}\),

что дает:

\(-1 \leq x \leq 3\).

Теперь решим второе неравенство:

\(\frac{x+1}{3} \geq \frac{x-2}{2}\).

Умножим обе части на \(6\) (наименьший общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:

\(6 \cdot \frac{x+1}{3} \geq 6 \cdot \frac{x-2}{2}\),

что дает:

\(2(x+1) \geq 3(x-2)\).

Раскроем скобки:

\(2x + 2 \geq 3x — 6\).

Перенесем \(3x\) в левую часть и \(2\) в правую часть:

\(2x — 3x \geq -6 — 2\),

что упрощается до:

\(-x \geq -8\).

Домножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства:

\(x \leq 8\).

Таким образом, система неравенств состоит из двух условий:

\(-1 \leq x \leq 3\),

\(x \leq 8\).

Объединяя их, получаем:

\(-1 \leq x \leq 3\), поскольку \(x \leq 8\) уже включено в интервал \([-1;3]\).

Ответ: \((-1;2)\).

Теперь решим вторую систему. Начнем с первого неравенства:

\(-5 \leq \frac{-3x-1}{2} \leq 2\).

Умножим обе части на \(2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(-5 \cdot 2 \leq (-3x-1) \cdot 1 \leq 2 \cdot 2\),

что дает:

\(-10 \leq -3x-1 \leq 4\).

Теперь прибавим \(1\) ко всем частям:

\(-10 + 1 \leq -3x-1 + 1 \leq 4 + 1\),

получаем:

\(-9 \leq -3x \leq 5\).

Разделим все части на \(-3\), меняя знаки неравенств:

\(-\frac{9}{-3} \geq \frac{-3x}{-3} \geq \frac{5}{-3}\),

что дает:

\(3 \geq x \geq -\frac{5}{3}\).

Теперь решим второе неравенство:

\(\frac{x-1}{2} \leq \frac{x+1}{3}\).

Умножим обе части на \(6\) (наименьший общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:

\(6 \cdot \frac{x-1}{2} \leq 6 \cdot \frac{x+1}{3}\),

что дает:

\(3(x-1) \leq 2(x+1)\).

Раскроем скобки:

\(3x — 3 \leq 2x + 2\).

Перенесем \(2x\) в левую часть и \(-3\) в правую часть:

\(3x — 2x \leq 2 + 3\),

что упрощается до:

\(x \leq 5\).

Таким образом, система неравенств состоит из двух условий:

\(-\frac{5}{3} \leq x \leq 3\),

\(x \leq 5\).

Объединяя их, получаем:

\(-\frac{5}{3} \leq x \leq 3\), поскольку \(x \leq 5\) уже включено в интервал \((-5/3;3)\).

Ответ: \((-5/3;3)\).