ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( f(x) = \frac{12}{x+3} \) убывает на промежутке \((-\infty; -3)\).

\( f(x) = \frac{12}{x+3} \) убывает на промежутке \((-\infty; -3)\).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; -3)\), причем \( x_2 > x_1 \). Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).

Имеем:
\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{12}{x_2 + 3} — \frac{12}{x_1 + 3} = \frac{12(x_1 + 3) — 12(x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)}=\)
\( = \frac{12x_1 + 36 — 12x_2 — 36}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{12x_1 — 12x_2}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} =\)
\(= \frac{12(x_1 — x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)}.\)

Поскольку \( x_2 \in (-\infty; -3) \) и \( x_1 \in (-\infty; -3) \), то \( x_2 + 3 < 0 \), \( x_1 + 3 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \). Следовательно, \(\frac{12(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} < 0;\) \( f(x_2) - f(x_1) < 0; \) \( f(x_2) < f(x_1), \) то есть данная функция убывает на промежутке \((-\infty; -3)\).

\( f(x) = \frac{12}{x+3} \) убывает на промежутке \((-\infty; -3)\).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; -3)\), причем \( x_2 > x_1 \). Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).

Имеем:
\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{12}{x_2 + 3} — \frac{12}{x_1 + 3} = \frac{12(x_1 + 3) — 12(x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} =\)
\(= \frac{12x_1 + 36 — 12x_2 — 36}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{12x_1 — 12x_2}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} =\)
\(= \frac{12(x_1 — x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)}.\)

Поскольку \( x_2 \in (-\infty; -3) \) и \( x_1 \in (-\infty; -3) \), то \( x_2 + 3 < 0 \), \( x_1 + 3 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \). Следовательно, \(\frac{12(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} < 0;\) \( f(x_2) - f(x_1) < 0; \) \( f(x_2) < f(x_1), \) то есть данная функция убывает на промежутке \((-\infty; -3)\). Функция \( f(x) = \frac{12}{x+3} \) задана на промежутке \( (-\infty; -3) \), и нам нужно доказать, что она убывает на этом промежутке. Для этого рассмотрим два произвольных значения аргумента \( x_1 \) и \( x_2 \), принадлежащих этому промежутку, при условии, что \( x_2 > x_1 \). Убывание функции на данном промежутке означает, что при увеличении аргумента значение функции уменьшается, то есть \( f(x_2) < f(x_1) \). Для доказательства вычислим разность значений функции в точках \( x_2 \) и \( x_1 \): \( f(x_2) - f(x_1) = \frac{12}{x_2 + 3} - \frac{12}{x_1 + 3} \). Приведём эту разность к общему знаменателю: \( f(x_2) - f(x_1) = \frac{12(x_1 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} - \frac{12(x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{12(x_1 + 3) - 12(x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} \). Раскроем скобки в числителе: \( 12x_1 + 36 - 12x_2 - 36 = 12x_1 - 12x_2 \). Таким образом, \( f(x_2) - f(x_1) = \frac{12x_1 - 12x_2}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{12(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} \). Теперь рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Поскольку \( x_1 \) и \( x_2 \) принадлежат промежутку \( (-\infty; -3) \), то \( x_1 + 3 < 0 \) и \( x_2 + 3 < 0 \). Произведение двух отрицательных чисел \( (x_2 + 3)(x_1 + 3) \) будет положительным, так как минус на минус даёт плюс. Однако в числителе \( x_1 - x_2 \) отрицательно, потому что \( x_2 > x_1 \) означает, что \( x_1 — x_2 < 0 \). Множитель 12 положителен, поэтому знак числителя определяется знаком \( x_1 - x_2 \), то есть отрицательный. Итог: числитель отрицательный, знаменатель положительный, следовательно, дробь \( \frac{12(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} \) отрицательна. Это означает, что \( f(x_2) - f(x_1) < 0 \), или \( f(x_2) < f(x_1) \). Таким образом, при увеличении аргумента функция убывает, что и требовалось доказать. Следовательно, функция \( f(x) = \frac{12}{x+3} \) действительно убывает на промежутке \( (-\infty; -3) \).