ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 1 Номер 22 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Запишите все правильные дроби со знаменателем 30, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

Правильная дробь со знаменателем 30 — это дробь

$\frac{a}{30}$, где

$0 < a < 30$.

Числитель $a$ должен быть взаимно прост с 30, то есть

$\gcd(a, 30) = 1$.

Разложим 30 на простые множители:$$30 = 2 \times 3 \times 5$$

Числители, не содержащие множителей 2, 3 или 5 — это числа от 1 до 29, не делящиеся на 2, 3 или 5.

Числители взаимно простые с 30:

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Ответ — правильные дроби:

$$\frac{1}{30}, \frac{7}{30}, \frac{11}{30}, \frac{13}{30}, \frac{17}{30}, \frac{19}{30}, \frac{23}{30}, \frac{29}{30}$$

Условие:

Нужно записать все правильные дроби с знаменателем 30, у которых числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Что такое правильная дробь?

Правильная дробь — это дробь $\frac{a}{b}$, где числитель $a$ меньше знаменателя $b$, и $a > 0$.

В нашем случае:$$a \in \{1, 2, 3, \ldots, 29\}, \quad b = 30$$

Что значит взаимно простые числа?

Числитель и знаменатель взаимно просты, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1:$$\gcd(a, 30) = 1$$

Шаг 1. Разложим знаменатель на простые множители:$$30 = 2 \times 3 \times 5$$

Шаг 2. Найдём числа от 1 до 29, которые не делятся на 2, 3 или 5

• Исключаем все числа, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
• Исключаем все числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
• Исключаем все числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25

Шаг 3. Оставшиеся числа (числители взаимно простые с 30):$$1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$$

Шаг 4. Запишем все правильные дроби с этими числителями:

$$\frac{1}{30}, \quad \frac{7}{30}, \quad \frac{11}{30}, \quad \frac{13}{30}, \quad \frac{17}{30}, \quad \frac{19}{30}, \quad \frac{23}{30}, \quad \frac{29}{30}$$