ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 339 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Пять кругов, имеющих равные радиусы, расположены так, как показано на рисунке. Найдите отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей данных пяти кругов.

Для решения задачи нужно учитывать, что закрашенная фигура представляет собой один круг, расположенный в центре, и части четырёх других кругов, которые перекрываются с центральным кругом.

1. Площадь одного круга:
\[
S_{\text{круга}} = \pi r^2.
\]

2. Сумма площадей пяти кругов:
\[
S_{\text{общая}} = 5 \cdot \pi r^2.
\]

3. Площадь закрашенной фигуры:
Закрашенная фигура включает площадь центрального круга (\( \pi r^2 \)) и те части четырёх внешних кругов, которые перекрываются с центральным кругом. Из-за симметрии и равных радиусов, закрашенная площадь будет равна площади двух полных кругов:
\[
S_{\text{закрашенная}} = 2 \cdot \pi r^2.
\]

4. Отношение площадей:
\[
\text{Отношение} = \frac{S_{\text{закрашенная}}}{S_{\text{общая}}} = \frac{2 \cdot \pi r^2}{5 \cdot \pi r^2} = \frac{2}{5}.
\]

Ответ: отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей пяти кругов равно \( \frac{2}{5} \).

Для решения задачи рассмотрим шаги подробно. У нас есть пять кругов одинакового радиуса \( r \), расположенных так, как показано на рисунке. Среди них один круг находится в центре, а четыре других расположены вокруг него, частично перекрывая центральный круг. Требуется найти отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей всех пяти кругов.

1. Площадь одного круга
Площадь круга рассчитывается по формуле:
\[
S_{\text{круга}} = \pi r^2,
\]

где \( r \) — радиус круга, а \( \pi \) — математическая постоянная (примерно равная \( 3,14 \)).

2. Сумма площадей пяти кругов
Так как радиусы всех кругов равны, площадь каждого из пяти кругов будет одинаковой. Тогда сумма площадей всех пяти кругов равна:
\[
S_{\text{общая}} = 5 \cdot \pi r^2.
\]

3. Площадь закрашенной фигуры
Закрашенная фигура состоит из площади центрального круга и тех частей четырёх внешних кругов, которые перекрываются с центральным кругом.

— Центральный круг полностью входит в закрашенную область, его площадь равна:
\[
S_{\text{центрального}} = \pi r^2.
\]

— Внешние круги частично перекрывают центральный круг. Если внимательно проанализировать расположение кругов, можно заметить, что закрашенная область в сумме соответствует площади двух полных кругов. Это связано с симметрией и равными радиусами кругов. Таким образом, площадь закрашенной фигуры:
\[
S_{\text{закрашенная}} = 2 \cdot \pi r^2.
\]

4. Отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей пяти кругов
Теперь найдём отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей всех пяти кругов:
\[
\text{Отношение} = \frac{S_{\text{закрашенная}}}{S_{\text{общая}}}.
\]

Подставим значения:
\[
\text{Отношение} = \frac{2 \cdot \pi r^2}{5 \cdot \pi r^2}.
\]

Сократим \( \pi r^2 \) в числителе и знаменателе:
\[
\text{Отношение} = \frac{2}{5}.
\]

5. Вывод
Отношение площади закрашенной фигуры к сумме площадей пяти кругов равно \( \frac{2}{5} \), или 40%. Это означает, что закрашенная область составляет 40% от общей площади всех пяти кругов.