ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 141 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения.

1)

$$\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50}$$

2)

$$\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{32 \cdot 35}$$

1)

$$\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50}$$

Каждую дробь представим как:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}$$

Это телескопическая сумма, в которой всё сокращается:

$$\left( \frac{1}{10} — \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} — \frac{1}{12} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} — \frac{1}{50} \right)$$

Всё сокращается, остаётся:

$$\frac{1}{10} — \frac{1}{50} = \frac{5 — 1}{50} = \frac{4}{50} = \boxed{\frac{2}{25}}$$

2)

$$\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{32 \cdot 35}$$

Каждую дробь перепишем как:

$$\frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+3}$$

Это снова телескопическая сумма:

$$\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{32} — \frac{1}{35} \right)$$

Сокращается всё, кроме крайних членов:

$$\frac{1}{2} — \frac{1}{35} = \frac{33}{70}$$

Ответ: $\boxed{\frac{33}{70}}$

Задача 1:

$$\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50}$$

Шаг 1: Понять структуру слагаемых

Каждое слагаемое — дробь с произведением двух соседних чисел в знаменателе:

$$\frac{1}{n(n+1)}$$

Пример: для $n=10$ — $\frac{1}{10 \cdot 11}$, для $n=11$ — $\frac{1}{11 \cdot 12}$ и так далее.

Шаг 2: Расклад через простейшие дроби

Есть классическая формула разложения:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}$$

Проверим на $n=10$:

$$\frac{1}{10} — \frac{1}{11} = \frac{11 — 10}{110} = \frac{1}{110} = \frac{1}{10 \cdot 11}$$

Всё сходится.

Шаг 3: Записываем сумму в разложенном виде

Тогда вся сумма превращается в:

$$\sum_{n=10}^{49} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=10}^{49} \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right)$$

Шаг 4: Раскрываем скобки и сокращаем

Это телескопическая сумма, то есть все внутренние члены сокращаются:

$$\left( \frac{1}{10} — \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} — \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} — \frac{1}{13} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} — \frac{1}{50} \right)$$

В сумме всё внутри исчезает, остаётся только:

$$\frac{1}{10} — \frac{1}{50}$$

Шаг 5: Считаем разницу

Найдём общий знаменатель — 50:

$$\frac{1}{10} = \frac{5}{50}, \quad \frac{1}{50} = \frac{1}{50}$$

Разница:

$$\frac{5}{50} — \frac{1}{50} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$$

Итог:

$$\boxed{\frac{2}{25}}$$

Задача 2:

$$\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{32 \cdot 35}$$

Шаг 1: Определяем закономерность

Знаменатели — произведения чисел, которые отличаются на 3:

$$n, \quad n+3$$

При этом числитель — постоянный $3$.

Шаг 2: Формула разложения

Рассмотрим дробь:

$$\frac{3}{n(n+3)}$$

Предположим, что можно представить как разность двух дробей:

$$\frac{3}{n(n+3)} = \frac{A}{n} — \frac{B}{n+3}$$

Перемножим:

$$3 = A(n+3) — Bn = (A — B) n + 3A$$

Чтобы равенство было верным для всех $n$, приравниваем коэффициенты:

• при $n$: $0 = A — B \Rightarrow B = A$
• свободный член: $3 = 3A \Rightarrow A = 1$

Тогда $B = 1$.

Значит:

$$\frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+3}$$

Шаг 3: Расписываем сумму

Тогда сумма равна:

$$\sum \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+3} \right)$$

Конкретно:

$$\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} — \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{32} — \frac{1}{35} \right)$$

Шаг 4: Сокращаем сумму

Вся внутренняя часть уходит:

$$\frac{1}{2} — \frac{1}{35}$$

Шаг 5: Вычисляем значение

Общий знаменатель — 70:

$$\frac{1}{2} = \frac{35}{70}, \quad \frac{1}{35} = \frac{2}{70}$$

Разность:

$$\frac{35}{70} — \frac{2}{70} = \frac{33}{70}$$

Итог:

$$\boxed{\frac{33}{70}}$$