ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 231 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В коробке лежит не более 40 шаров. Если их считать парами, или тройками, или пятёрками, то каждый раз будет оставаться один шар. Сколько шаров лежит в коробке?

Задача сводится к поиску числа \( n \), которое удовлетворяет следующим условиям:
\[
n \leq 40, \quad n \mod 2 = 1, \quad n \mod 3 = 1, \quad n \mod 5 = 1.
\]

Решение:
Ищем такое \( n \), которое на единицу больше, чем общее кратное чисел \( 2, 3 \) и \( 5 \).
Находим наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:
\[
\text{НОК}(2, 3, 5) = 30.
\]

Значит, \( n \) имеет вид:
\[
n = 30k + 1, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Так как \( n \leq 40 \), подставляем \( k = 0 \) и \( k = 1 \):
— При \( k = 0 \): \( n = 30 \cdot 0 + 1 = 1 \) (не подходит, слишком мало).
— При \( k = 1 \): \( n = 30 \cdot 1 + 1 = 31 \) (подходит).

Ответ:
В коробке лежит 31 шар.

Условие задачи:
В коробке находится не более 40 шаров. Если их считать парами, тройками или пятёрками, то каждый раз остаётся 1 шар. Нужно найти количество шаров \(n\), которое удовлетворяет этим условиям.

Анализ:
Число шаров \(n\) должно удовлетворять следующим условиям:
1. \(n \mod 2 = 1\) (остаётся 1 шар при делении на 2);
2. \(n \mod 3 = 1\) (остаётся 1 шар при делении на 3);
3. \(n \mod 5 = 1\) (остаётся 1 шар при делении на 5);
4. \(n \leq 40\) (всего шаров не больше 40).

Итак, \(n\) — это число, которое на 1 больше общего кратного чисел 2, 3 и 5. Решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 5.
Для чисел 2, 3 и 5 их НОК равен:
\[
\text{НОК}(2, 3, 5) = 30.
\]

Это значит, что любое число, кратное 30, удовлетворяет делению на 2, 3 и 5 без остатка. А так как в задаче указано, что каждый раз остаётся 1 шар, то число \(n\) должно быть на 1 больше, чем кратное 30:
\[
n = 30k + 1, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Шаг 2: Найдём подходящее \(n\), учитывая ограничение \(n \leq 40\).
Подставляем значения \(k\):
— При \(k = 0\):
\[
n = 30 \cdot 0 + 1 = 1 \quad (\text{не подходит, так как слишком мало}).
\]

— При \(k = 1\):
\[
n = 30 \cdot 1 + 1 = 31 \quad (\text{подходит, так как } n \leq 40).
\]

— При \(k = 2\):
\[
n = 30 \cdot 2 + 1 = 61 \quad (\text{не подходит, так как } n > 40).
\]

Таким образом, единственное подходящее значение — \(n = 31\).

Шаг 3: Проверка.
Подставим \(n = 31\) в условия задачи:
1. \(31 \mod 2 = 1\) (остаток 1 при делении на 2);
2. \(31 \mod 3 = 1\) (остаток 1 при делении на 3);
3. \(31 \mod 5 = 1\) (остаток 1 при делении на 5).

Все условия выполнены.

Ответ:
В коробке лежит 31 шар.