ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 46 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Делится ли нацело на 3 значение выражения:
1) \(10^{14} — 1\);
2) \(10^{10} + 5\)?

1) \(10^{14} — 1\).

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Но проще использовать остатки по модулю 3:

\(10 \equiv 1 \pmod{3}\), значит

\(10^{14} \equiv 1^{14} = 1 \pmod{3}\).

Тогда

\(10^{14} — 1 \equiv 1 — 1 = 0 \pmod{3}\).

Значит, \(10^{14} — 1\) делится на 3.

2) \(10^{10} + 5\).

Аналогично,

\(10^{10} \equiv 1^{10} = 1 \pmod{3}\),

значит

\(10^{10} + 5 \equiv 1 + 5 = 6 \equiv 0 \pmod{3}\).

Значит, \(10^{10} + 5\) тоже делится на 3.

Ответ: Оба выражения делятся на 3.

Задача:
Проверить, делятся ли на 3 следующие выражения:

1) \(10^{14} — 1\)
2) \(10^{10} + 5\)

Правило делимости на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Для больших степеней удобнее использовать арифметику по модулю 3.

Решение:

1) Проверка \(10^{14} — 1\) на делимость на 3

Рассмотрим число \(10^{14}\) по модулю 3.

Известно, что \(10 \equiv 1 \pmod{3}\), так как \(10 = 3 \times 3 + 1\).

Тогда:

\[
10^{14} \equiv 1^{14} \equiv 1 \pmod{3}.
\]

Теперь вычтем 1:

\[
10^{14} — 1 \equiv 1 — 1 \equiv 0 \pmod{3}.
\]

Это означает, что остаток от деления \(10^{14} — 1\) на 3 равен 0, следовательно, число **делится на 3**.

2) Проверка \(10^{10} + 5\) на делимость на 3

Аналогично, рассмотрим \(10^{10}\) по модулю 3:

\[
10^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{3}.
\]

Теперь сложим с 5:

\[
10^{10} + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3},
\]

так как 6 делится на 3 без остатка.

Отсюда следует, что \(10^{10} + 5\) также делится на 3.

Итог:

— Выражение \(10^{14} — 1\) делится на 3.
— Выражение \(10^{10} + 5\) делится на 3.

Оба числа делятся на 3 без остатка.