ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 62 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если:
1) \( a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17, \, b = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19; \)
2) \( a = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 13 \cdot 23^2, \, b = 3^5 \cdot 7 \cdot 13^2 \cdot 23. \)
Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, представленных в виде произведений простых множителей, нужно взять минимальные степени всех общих простых множителей.
1) \( a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \) и \( b = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 \)
Общие простые множители:
— \( 2 \) в степени \( \min(2, 3) = 2 \)
— \( 3 \) в степени \( \min(3, 2) = 2 \)
— \( 5 \) в степени \( \min(1, 1) = 1 \)
НОД = \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \)
2) \( a = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 13 \cdot 23^2 \) и \( b = 3^5 \cdot 7 \cdot 13^2 \cdot 23 \)
Общие простые множители:
— \( 3 \) в степени \( \min(2, 5) = 2 \)
— \( 7 \) в степени \( \min(3, 1) = 1 \)
— \( 13 \) в степени \( \min(1, 2) = 1 \)
— \( 23 \) в степени \( \min(2, 1) = 1 \)
НОД = \( 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 23 = 9 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 23 = 18837 \)
1) \( a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \), \( b = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 \)
Для нахождения НОД нужно найти общие простые множители чисел \( a \) и \( b \) и выбрать минимальные степени этих множителей.
— Простые множители числа \( a \): \( 2, 3, 5, 7, 17 \)
— Простые множители числа \( b \): \( 2, 3, 5, 11, 19 \)
— Общие множители: \( 2, 3, 5 \).
Теперь определяем минимальные степени:
— Для \( 2 \): \( \min(2, 3) = 2 \)
— Для \( 3 \): \( \min(3, 2) = 2 \)
— Для \( 5 \): \( \min(1, 1) = 1 \)
Таким образом, НОД:
\[
\text{НОД} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180.
\]
2) \( a = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 13 \cdot 23^2 \), \( b = 3^5 \cdot 7 \cdot 13^2 \cdot 23 \)
Аналогично, найдем общие простые множители и минимальные степени:
— Простые множители числа \( a \): \( 2, 3, 7, 13, 23 \)
— Простые множители числа \( b \): \( 3, 7, 13, 23 \)
— Общие множители: \( 3, 7, 13, 23 \).
Определяем минимальные степени:
— Для \( 3 \): \( \min(2, 5) = 2 \)
— Для \( 7 \): \( \min(3, 1) = 1 \)
— Для \( 13 \): \( \min(1, 2) = 1 \)
— Для \( 23 \): \( \min(2, 1) = 1 \).
Теперь вычисляем НОД:
\[
\text{НОД} = 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 23 = 9 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 23.
\]
Выполним поэтапное умножение:
\[
9 \cdot 7 = 63, \quad 63 \cdot 13 = 819, \quad 819 \cdot 23 = 18837.
\]
Итак, НОД:
\[
\text{НОД} = 18837.
\]
Ответ:
1) \( \text{НОД} = 180 \)
2) \( \text{НОД} = 18837 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.