ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция задана формулой \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+2x\). Найдите:
1) \(f(3)\) и \(f(-1)\);
2) нули функции.
2. Найдите область определения функции:
1) \(f(x)=\frac{x^2-5}{x^2-6x-16}\);
2) \(f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{8}{x^2-9}\).
3. Постройте график функции \(f(x)=x^2+4x-5\). Используя график, найдите:
1) область значений данной функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства \(f(x)<0\).
4. Постройте график функции:
1) \(f(x)=\sqrt{x+4}\);
2) \(f(x)=\sqrt{x+4}\).
5. При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y=x^2+px+q\) находится в точке \(B(3;-7)\)?

1) При подстановке в \(f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+2x\) при \(x=3\) получаем сначала \(\frac{1}{3}\cdot3^{2}=\frac{1}{3}\cdot9=3\), затем \(2\cdot3=6\), поэтому \(f(3)=3+6=9\); при \(x=-1\) имеем \(\frac{1}{3}\cdot(-1)^{2}=\frac{1}{3}\), \(2\cdot(-1)=-2\), значит \(f(-1)=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\).

Нули находятся из уравнения \(\frac{1}{3}x^{2}+2x=0\). Умножив на 3, получаем \(x^{2}+6x=0\), то есть \(x(x+6)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-6\).

2) Для дроби \(f(x)=\frac{x^{2}-5}{x^{2}-6x-16}\) запрещается \(x^{2}-6x-16=0\). Дискриминант \(D=36+64=100\), корни \(x=\frac{6\pm10}{2}\), то есть \(-2\) и 8. Область определения: \(x\in(-\infty,-2)\cup(-2,8)\cup(8,\infty)\).

Для выражения \(g(x)=\frac{\sqrt{x+4}+4}{x^{2}-9}\) требуется одновременно \(x+4\ge0\) и \(x^{2}-9\ne0\), то есть \(x\ge-4\) и \(x\ne\pm3\). Пересечение даёт \(x\in[-4,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)\).

3)Найдём вершину параболы: \(x_{0}=-\frac{4}{2\cdot1}=-2\), \(y_{0}=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=-9\). Для уточнения формы кривой составим таблицу значений:

Область значений функции \(E(f)\) равна \([-9;+\infty)\). Поскольку парабола с ветвями вверх, она убывает на \(x\in(-\infty;-2]\) и возрастает на \(x\in[-2;+\infty)\).

Решим неравенство \(f(x)<0\). Дискриминант \(D=16+20=36\), корни \(x_{1}=-5\), \(x_{2}=1\). Отсюда \(f(x)<0\) при \(x\in(-5;1)\).

4) Для функции \(g(x)=\sqrt{x}\) сдвиг влево на 4 даёт \(g_{1}(x)=\sqrt{x+4}\) с областью определения \(x\ge-4\).

Сдвиг вверх на 4 даёт \(g_{2}(x)=\sqrt{x}+4\) с областью определения \(x\ge0\) и областью значений \(y\ge4\).

5) Для нахождения \(p\) используем формулу оси симметрии \(x_{0}=-\frac{p}{2}\). Подставляя \(x_{0}=3\), получаем \(3=-\frac{p}{2}\), отсюда \(p=-6\).

Для определения \(q\) подставляем \(x_{0}=3\) и \(p=-6\) в уравнение вершины \(y_{0}=x_{0}^{2}+p\,x_{0}+q\): \(-7=3^{2}+(-6)\cdot3+q=9-18+q=-9+q\), значит \(q=2\).

Ответ: \(p=-6\), \(q=2\).

1) Первое действие состоит в том, чтобы подставить конкретные значения аргумента в выражение \(f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+2x\). При \(x=3\) получаем сначала возведение в квадрат: \(3^{2}=9\), затем умножение на \(\frac{1}{3}\), что даёт \(\frac{1}{3}\cdot9=3\). После этого складываем с результатом удвоенного значения аргумента: \(2\cdot3=6\). В итоге \(f(3)=3+6=9\). При \(x=-1\) также сначала берём квадрат: \((-1)^{2}=1\), умножаем на \(\frac{1}{3}\) и получаем \(\frac{1}{3}\). Затем вычисляем \(2\cdot(-1)=-2\). Складывая, находим \(f(-1)=\frac{1}{3}-2=\frac{1}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{5}{3}\).

Чтобы найти корни функции, решаем уравнение \(\frac{1}{3}x^{2}+2x=0\). Умножив обе части на 3, избавляемся от дроби: \(x^{2}+6x=0\). Это квадратное уравнение приводится к виду \(x(x+6)=0\). Из свойства произведения равного нулю получаем два решения: \(x=0\) или \(x+6=0\), откуда \(x=-6\). Таким образом, нули функции — это точки \(x=0\) и \(x=-6\).

2) При исследовании области определения дробно-рациональной функции \(f(x)=\frac{x^{2}-5}{\,x^{2}-6x-16\,}\) важно исключить те значения, при которых знаменатель обращается в ноль. Решаем уравнение \(x^{2}-6x-16=0\). Дискриминант равен \(D=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-16)=36+64=100\). Корни получаются по формуле: \(x=\frac{6\pm10}{2}\), то есть \(x=-2\) и \(x=8\). Следовательно, область определения — все действительные числа, за исключением точек \(x=-2\) и \(x=8\). В общем виде это записывается как \(x\in(-\infty,-2)\cup(-2,8)\cup(8,+\infty)\).

Для функции \(g(x)=\frac{\sqrt{x+4}+4}{\,x^{2}-9\,}\) надо одновременно учесть требование подкоренного выражения и запрет на нулевой знаменатель. Подкоренное выражение \(x+4\) должно быть неотрицательным, то есть \(x+4\ge0\), откуда \(x\ge-4\). Знаменатель не должен обнуляться, поэтому \(x^{2}-9\ne0\), то есть \(x\ne3\) и \(x\ne-3\). Пересечение условий даёт область определения: \(x\in[-4,-3)\cup(-3,3)\cup(3,+\infty)\).

3)Функция задана формулой \(f(x)=x^{2}+4x-5\). Для начала найдём координаты вершины параболы. Координата абсциссы вершины вычисляется по формуле \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\), где \(a=1\), \(b=4\), поэтому \(x_{0}=-\frac{4}{2\cdot1}=-\frac{4}{2}=-2\). Чтобы найти ординату вершины, подставим \(x=-2\) в выражение функции: \(y_{0}=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9\). Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положителен, парабола ветвями направлена вверх, и точка \((-2,\,-9)\) является минимальной на всём её графике. Далее составим таблицу значений для нескольких характерных точек, чтобы точнее отразить форму кривой:

Область значений (множество значений функции) определяется тем, что \(y\) принимает все значения от минимального значения \(y_{0}=-9\) до бесконечности, то есть \(E(f)=[-9;+\infty)\). Поскольку ветви параболы идут вверх, функция убывает на промежутке от минус бесконечности до абсциссы вершины включительно, то есть на \(x\in(-\infty; -2]\), и возрастает на обратном промежутке \(x\in[-2;+\infty)\). Для решения неравенства \(f(x)<0\) сначала найдём корни квадратного уравнения \(x^{2}+4x-5=0\). Дискриминант равен \(D=4^{2}-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36\), корни вычисляются по формуле \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), откуда \(x_{1}=\frac{-4-6}{2}=-5\) и \(x_{2}=\frac{-4+6}{2}=1\). Поскольку парабола направлена вверх, на промежутке между корнями функция принимает отрицательные значения, то есть решение неравенства задаётся интервалом \(x\in(-5;1)\).

4) Графически преобразования функции \(g(x)=\sqrt{x}\) отражаются в двух случаях. В первом случае рассматривается \(f_{1}(x)=\sqrt{x+4}\). Это означает, что каждому значению аргумента \(t\ge0\), для которого \(g(t)=\sqrt{t}\) определена, соответствует точка \((t-4,\sqrt{t})\). Таким образом, базовую кривую \(y=\sqrt{x}\) сдвигают на 4 единицы влево: область определения становится \(x\ge-4\), а начальной точкой графика теперь будет \((-4,\,0)\).

Во втором случае рассматривается \(f_{2}(x)=\sqrt{x}+4\). Здесь каждая точка графика \(y=\sqrt{x}\) сдвигается вверх на 4 единицы, вследствие чего область определения остаётся \(x\ge0\), а область значений изменяется на \(y\ge4\). Преобразование не меняет форму корня, лишь повышает все значения функции на одинаковую величину.

5) Парабола задана уравнением \(y = x^{2} + p x + q\), где параметры \(p\) и \(q\) определяют положение вершины, а коэффициент при \(x^{2}\) равен единице, что упрощает вычисления. Вершина параболы лежит на оси симметрии, абсциссу которой можно найти по формуле \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = 1\) и \(b = p\), поэтому ось симметрии задаётся как \(x_{0} = -\frac{p}{2}\). По условию вершина имеет абсциссу \(3\), значит решаем уравнение \(3 = -\frac{p}{2}\). Умножив обе части на \(2\), получаем \(6 = -p\), откуда \(p = -6\).

После нахождения \(p\) переходим к определению \(q\). Ордината вершины \(y_{0}\) связана с абсциссой \(x_{0}\) подстановкой в исходное уравнение: \(y_{0} = x_{0}^{2} + p\,x_{0} + q\). Мы знаем \(x_{0} = 3\) и \(p = -6\). Подставляем: \(y_{0} = 3^{2} + (-6)\cdot 3 + q = 9 — 18 + q = -9 + q\). По условию ордината равна \(-7\), значит решаем \(-7 = -9 + q\). Прибавляя \(9\) к обеим частям, получаем \(q = 2\).

Таким образом, параметры параболы равны \(p = -6\) и \(q = 2\). Уравнение \(y = x^{2} — 6x + 2\) действительно имеет вершину в точке \((3; -7)\): производная \(y’ = 2x — 6\) при \(x = 3\) даёт \(y’ = 0\), подтверждая экстремум, а значение \(y(3) = 9 — 18 + 2 = -7\) совпадает с заданным.

В результате применения формулы оси симметрии и подстановки в уравнение получены окончательные параметры. Этот метод всегда начинается с вычисления \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\), затем следует подстановка для определения \(q\), что и подтверждает правильность найденного решения.