ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция задана формулой \(f(x) = x^2 + 2x\). Найдите:
1) \(f(3)\) и \(f(-1)\); 2) нули функции.

2. Найдите область определения функции:
1) \(f(x) = \frac{x^2 — 5}{x^2 — 6x — 16}\);
2) \(f(x) = \sqrt{x + 4} + 8\).

3. Постройте график функции \(f(x) = x^2 + 4x — 5\). Используя график, найдите:
1) область значений данной функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства \(f(x) < 0\). 4. Постройте график функции: 1) \(f(x) = \sqrt{x + 4}\); 2) \(f(x) = \sqrt{x} + 4\). 5. При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \(B(3; -7)\)? 1. Решите неравенство: 1) \(x^2 + 4x - 21 > 0\);
2) \(x^2 — 6x + 11 > 0\);
3) \(x^2 > 81\);
4) \(x^2 + 14x + 49 > 0\).

2. Решите систему уравнений:
\(\{x + y = 7, x^2 — xy = 6\}\).

3. Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{4x — x^2}\);
2) \(y = \sqrt{12 + x — x^2}\).

4. Решите графически систему уравнений:
\(\{y = 2x — x^2, 2x + y = 3\}\).

5. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0\) имеет два действительных корня?

6. Решите систему уравнений:
\(\{x^2 — 4xy + 4y^2 = 25, x + 2y = 3\}\).

1. Решить неравенство:
1) \( x^2 + 4x — 21 > 0 \); \( D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100 \), тогда: \( x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \); \( (x + 7)(x — 3) > 0 \); \( x < -7 \) или \( x > 3 \); ОТВЕТ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty) \).
2) \( x^2 — 6x + 11 > 0 \); \( D = 6^2 — 4 \cdot 11 = 36 — 44 = -8 \); \( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \); ОТВЕТ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).
3) \( x^2 > 81 \); \( x^2 — 81 > 0 \); \( (x + 9)(x — 9) > 0 \); \( x < -9 \) или \( x > 9 \); ОТВЕТ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty) \).
4) \( x^2 + 14x + 49 > 0 \); \( (x + 7)^2 > 0 \); \( x + 7 \neq 0 \); \( x \neq -7 \); ОТВЕТ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty) \).

2. Решить систему уравнений:
\( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x^2 — xy = 6 \end{cases} \)
1) Из первого уравнения: \( 2x + y = 7 \); \( y = 7 — 2x \);
2) Из второго уравнения: \( x^2 — xy = 6 \); \( x^2 — x(7 — 2x) = 6 \); \( x^2 — 7x + 2x^2 = 6 \); \( 3x^2 — 7x — 6 = 0 \); \( D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121 \), тогда: \( x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \); \( x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \); \( y_1 = 7 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{25}{3} \); \( y_2 = 7 — 2 \cdot 3 = 7 — 6 = 1 \);
Ответ: \( \left(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3}\right) \); \( (3; 1) \).

3. Найти область определения функции:

1) \( y = \sqrt{4x — x^2} \);
Выражение имеет смысл при: \( 4x — x^2 \geq 0 \); \( x^2 — 4x \leq 0 \); \( x(x — 4) \leq 0 \); \( 0 \leq x \leq 4 \); ОТВЕТ: \( x \in [0; 4] \).
2) \( y = \sqrt{12 + x — x^2} \);
Выражение имеет смысл при: \( x^2 — x — 12 < 0 \); \( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда: \( x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \); \( (x + 3)(x — 4) < 0 \); \( -3 < x < 4 \); ОТВЕТ: \( x \in (-3; 4) \). 4. Решить графически систему уравнений: \( \begin{cases} y = 2x — x^2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \) => \( \begin{cases} y = 2x — x^2 \\ y = 3 — 2x \end{cases} \)
1) \( y = 2x — x^2 \) — уравнение параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \); \( y_0 = 2 \cdot 1 — 1^2 = 2 — 1 = 1 \);
Таблица значений: \( x = 0, 1, 2, 3, 4 \); \( y = 0, 1, 0, -3, -8 \);
2) \( y = 3 — 2x \) — уравнение прямой: таблица значений: \( x = 0, 3 \); \( y = 3, -3 \);
3) Графики функций (описание графика опущено, так как это текстовая часть).

Ответ: \( (1; 1) \); \( (3; -3) \).

5. Дано уравнение:
\( x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0 \); \( x^2 + (8a)x + (1 — 15a) = 0 \);
1) Найдем дискриминант: \( D = (8a)^2 — 4 \cdot (1 — 15a) = 64a^2 — 4 + 60a \);
2) Уравнение имеет два корня, если \( D > 0 \): \( 64a^2 — 4 + 60a > 0 \); \( |:4 \); \( 16a^2 + 15a — 1 > 0 \); \( D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 \), тогда: \( a_1 = \frac{-15 — 17}{2 \cdot 16} = \frac{-32}{32} = -1 \); \( a_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \); \( (a + 1)\left(a — \frac{1}{16}\right) > 0 \); \( a < -1 \) или \( a > \frac{1}{16} \); ОТВЕТ: \( a \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{16}; +\infty\right) \).

6. Решить систему уравнений:
\( \begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 25 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \)
1) Из второго уравнения: \( x + 2y = 3 \); \( x = 3 — 2y \);
2) Из первого уравнения: \( x^2 — 4xy + 4y^2 = 25 \); \( (3 — 2y)^2 — 4y(3 — 2y) + 4y^2 = 25 \); \( 9 — 12y + 4y^2 — 12y + 8y^2 + 4y^2 = 25 \); \( 16y^2 — 24y — 16 = 0 \); \( |:8 \); \( 2y^2 — 3y — 2 = 0 \); \( D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \), тогда: \( y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \); \( y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \); \( x_1 = 3 — 2 \cdot (-0.5) = 3 + 1 = 4 \); \( x_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1 \);
Ответ: \( (4; -0.5) \); \( (-1; 2) \).

1. Решить неравенство:

Для неравенства \( x^2 + 4x — 21 > 0 \) определим дискриминант квадратного уравнения \( x^2 + 4x — 21 = 0 \). Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -21 \). Подставим значения: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \). Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня, которые находим по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \( x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \).

Теперь представим неравенство в виде произведения: \( (x + 7)(x — 3) > 0 \). Определим знаки множителей на числовой оси. Корни \( x = -7 \) и \( x = 3 \) делят ось на три интервала: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 3) \), \( (3; +\infty) \). В интервале \( (-\infty; -7) \) оба множителя отрицательные, их произведение положительное; в интервале \( (-7; 3) \) множитель \( (x + 7) > 0 \), а \( (x — 3) < 0 \), произведение отрицательное; в интервале \( (3; +\infty) \) оба множителя положительные, произведение положительное. Таким образом, неравенство выполняется при \( x < -7 \) или \( x > 3 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty) \).

Для неравенства \( x^2 — 6x + 11 > 0 \) вычислим дискриминант уравнения \( x^2 — 6x + 11 = 0 \): \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 — 44 = -8 \). Так как \( D < 0 \), корней у уравнения нет, а поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 1 > 0 \)), парабола направлена вверх, и выражение \( x^2 — 6x + 11 \) всегда больше нуля для всех \( x \).

Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

Для неравенства \( x^2 > 81 \) перепишем его как \( x^2 — 81 > 0 \). Это разность квадратов: \( (x + 9)(x — 9) > 0 \). Корни \( x = -9 \) и \( x = 9 \) делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -9) \), \( (-9; 9) \), \( (9; +\infty) \). В интервалах \( (-\infty; -9) \) и \( (9; +\infty) \) произведение положительное, в интервале \( (-9; 9) \) — отрицательное. Значит, неравенство выполняется при \( x < -9 \) или \( x > 9 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty) \).

Для неравенства \( x^2 + 14x + 49 > 0 \) заметим, что выражение является полным квадратом: \( x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2 \). Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (x + 7)^2 \geq 0 \), и равен нулю только при \( x + 7 = 0 \), то есть при \( x = -7 \). Следовательно, \( (x + 7)^2 > 0 \) для всех \( x \neq -7 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty) \).

2. Решить систему уравнений:

Дана система уравнений: \( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x^2 — xy = 6 \end{cases} \). Решим её методом подстановки. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 7 — 2x \). Подставим это выражение во второе уравнение: \( x^2 — x(7 — 2x) = 6 \). Раскроем скобки: \( x^2 — 7x + 2x^2 = 6 \). Сложим подобные слагаемые: \( 3x^2 — 7x — 6 = 0 \).

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \( D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{7 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \), \( x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3 \).

Для каждого значения \( x \) найдём \( y \). Если \( x_1 = -\frac{2}{3} \), то \( y_1 = 7 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} = \frac{25}{3} \). Если \( x_2 = 3 \), то \( y_2 = 7 — 2 \cdot 3 = 7 — 6 = 1 \).

Ответ: \( \left(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3}\right) \); \( (3; 1) \).

3. Найти область определения функции:

Для функции \( y = \sqrt{4x — x^2} \) выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 4x — x^2 \geq 0 \). Перепишем это как \( -x^2 + 4x \geq 0 \), или \( x^2 — 4x \leq 0 \), или \( x(x — 4) \leq 0 \). Корни \( x = 0 \) и \( x = 4 \) делят числовую ось на интервалы. Произведение \( x(x — 4) \) отрицательно или равно нулю на отрезке \( [0; 4] \).

Ответ: \( x \in [0; 4] \).

Для функции \( y = \sqrt{12 + x — x^2} \) выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 12 + x — x^2 > 0 \), или \( -x^2 + x + 12 > 0 \), или \( x^2 — x — 12 < 0 \). Найдём корни уравнения \( x^2 — x — 12 = 0 \): \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \), \( x_1 = \frac{1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{1 — 7}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \). Парабола \( x^2 — x — 12 \) направлена вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями, то есть при \( -3 < x < 4 \).

Ответ: \( x \in (-3; 4) \).

4. Решить графически систему уравнений:

Дана система: \( \begin{cases} y = 2x — x^2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \), или \( \begin{cases} y = 2x — x^2 \\ y = 3 — 2x \end{cases} \). Построим графики функций. Первая функция \( y = 2x — x^2 = -x^2 + 2x \) — это парабола, открытая вниз. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \), \( y = 2 \cdot 1 — 1^2 = 2 — 1 = 1 \). Построим таблицу значений для \( x = 0, 1, 2, 3, 4 \):

Вторая функция \( y = 3 — 2x \) — это прямая. Построим таблицу значений для \( x = 0, 3 \):

Точки пересечения графиков — это решения системы. Из графика видно, что точки пересечения: \( (1; 1) \) и \( (3; -3) \).

Ответ: \( (1; 1) \); \( (3; -3) \).

5. Дано уравнение:

Рассмотрим уравнение \( x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0 \), или \( x^2 + (8a)x + (1 — 15a) = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = (8a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (1 — 15a) = 64a^2 — 4 + 60a \). Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо \( D > 0 \): \( 64a^2 + 60a — 4 > 0 \). Разделим на 4: \( 16a^2 + 15a — 1 > 0 \).

Решим неравенство \( 16a^2 + 15a — 1 > 0 \). Найдём корни уравнения \( 16a^2 + 15a — 1 = 0 \): \( D = 15^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289 \), \( a_1 = \frac{-15 — \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 — 17}{32} = \frac{-32}{32} = -1 \), \( a_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \). Парабола \( 16a^2 + 15a — 1 \) направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при \( a < -1 \) или \( a > \frac{1}{16} \).

Ответ: \( a \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{16}; +\infty\right) \).

6. Решить систему уравнений:

Дана система: \( \begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 25 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \). Из второго уравнения выразим \( x = 3 — 2y \). Подставим это в первое уравнение: \( (3 — 2y)^2 — 4y(3 — 2y) + 4y^2 = 25 \). Раскроем скобки: \( 9 — 12y + 4y^2 — 12y + 8y^2 + 4y^2 = 25 \). Сложим подобные слагаемые: \( 16y^2 — 24y + 9 — 25 = 0 \), или \( 16y^2 — 24y — 16 = 0 \). Разделим на 8: \( 2y^2 — 3y — 2 = 0 \).

Найдём корни: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \), \( y_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \), \( y_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). Для \( y_1 = -0.5 \): \( x_1 = 3 — 2 \cdot (-0.5) = 3 + 1 = 4 \). Для \( y_2 = 2 \): \( x_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1 \).

Ответ: \( (4; -0.5) \); \( (-1; 2) \).