Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 521 Мерзляк — Подробные Ответы
Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше:
1) длины хорды AB;
2) радиуса окружности.
Дано: ON ⟂ AB; 1) ON = ½ AB; 2) ON = ½ OB; Найти: ∠AOB; | Решение: Рассмотрим окружность: OA = OB = R; AH = BH = ½ AB; 1) ΔOHB равнобедренный: ∠BHN = ∠BOH; ∠BHN + ∠BOH + ∠OHB = 180°; ∠BHN + ∠BOH + 90° = 180°; 2∠BOH = 90°; ∠BOH = 45°; ΔAOB равнобедренный: ON — высота и биссектриса; ∠AOB = 2∠BOH = 90°; 2) В прямоугольном ΔOHB: ON = ½ OB; ∠BOH = 30°; ΔAOB равнобедренный: ON — высота и биссектриса; ∠AOB = 2∠BOH = 60°; ∠AOB = 180° – 60° = 120°; |
Ответ: 1) 90°; 2) 120°.
Дано: ON ⟂ AB; 1) ON = ½ AB; 2) ON = ½ OB; Найти: ∠AOB; | Решение: Для удобства обозначим радиус окружности за R и рассмотрим следующие случаи. Рассмотрим окружность: Известно, что радиусы окружности равны, то есть OA = OB = R. Также нам даны равенства: AH = BH = ½ AB, поскольку ON является биссектрисой, которая делит хорду пополам. 1) Рассмотрим треугольник ΔOHB: Треугольник ΔOHB является равнобедренным, так как OH = OB — оба эти отрезка равны радиусу окружности. Тогда: ∠BHN = ∠BOH (углы при основании равнобедренного треугольника); Также, по теореме о сумме углов в треугольнике, имеем: ∠BHN + ∠BOH + ∠OHB = 180°; Но угол ∠OHB прямой, так как ON ⟂ AB, следовательно, ∠OHB = 90°. Тогда: ∠BHN + ∠BOH + 90° = 180°; 2∠BOH = 90°; ∠BOH = 45°. 2) Рассмотрим треугольник ΔAOB: Так как треугольник ΔAOB равнобедренный (с равными сторонами OA и OB), то углы при основании равны, то есть: ∠AOB = 2∠BOH (углы при основании равнобедренного треугольника); Подставляем значение ∠BOH = 45°: ∠AOB = 2 * 45° = 90°. 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOHB: В случае, если ON = ½ OB, угол ∠BOH в этом треугольнике будет равен 30°: ∠BOH = 30°; Тогда угол в треугольнике ΔAOB будет равен: ∠AOB = 2∠BOH = 60°. В итоге: ∠AOB = 180° — 60° = 120°. |
Ответ: 1) 90°; 2) 120°.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.