ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 523 Мерзляк — Подробные Ответы

Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B — точки касания, ∠OAB = 20°. Найдите угол ∠MB.

Дано:

• AM, BM — касательные;
• ∠OAB = 20°

Найти:

• ∠AMB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R;
• OA ⊥ MA, OB ⊥ MB;

2) Треугольник ∆AOB равнобедренный:

• ∠OBA = ∠OAB = 20°;

3) Рассмотрим треугольник AMB:

• ∠BAM = 90° — ∠OAB = 70°;
• ∠MBM = 90° — ∠OBA = 70°;
• ∠MBM + ∠MBM + ∠AMB = 180°;
• 70° + 70° + ∠AMB = 180°;
• ∠AMB = 40°;

Ответ: 40°

Дано:

• AM, BM — касательные;
• ∠OAB = 20°;

Найти:

• ∠AMB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R; — радиусы окружности одинаковы;
• OA ⊥ MA, OB ⊥ MB; — касательные к окружности всегда перпендикулярны к радиусам, проведенным в точку касания.

2) Треугольник ∆AOB равнобедренный:

• ∠OBA = ∠OAB = 20°; — поскольку радиусы окружности одинаковы, то треугольник AOB является равнобедренным. Следовательно, углы при основании этого треугольника равны.

3) Рассмотрим треугольник AMB:

• ∠BAM = 90° — ∠OAB = 70°; — угол ∠BAM можно найти, так как касательная и радиус образуют прямой угол. Угол ∠BAM будет равен 90° минус угол ∠OAB, который равен 20°.
• ∠MBM = 90° — ∠OBA = 70°; — аналогично, угол ∠MBM также равен 90° минус угол ∠OBA, который также равен 20°.
• ∠MBM + ∠MBM + ∠AMB = 180°; — в треугольнике сумма углов всегда равна 180°. Мы записываем уравнение, где сумма углов треугольника AMB составляет 180°.
• 70° + 70° + ∠AMB = 180°; — подставляем известные значения углов ∠BAM и ∠MBM, которые равны 70°.
• ∠AMB = 40°; — решаем уравнение, получаем угол ∠AMB, который равен 40°.

Ответ: 40°