ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 524 Мерзляк — Подробные Ответы

Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB.

Дано:

• CA, CB — касательные;
• AB = R;

Найти:

• ∠ACB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R = AB;
• OA ⊥ CA, OB ⊥ CB;

2) ΔAOB — равносторонний:

• ∠OBA = ∠OAB = 60°;

3) Рассмотрим треугольник ACB:

• ∠BAC = 90° — ∠OAB = 30°;
• ∠ABC = 90° — ∠OBA = 30°;
• ∠ABC + ∠ACB + ∠AMB = 180°;
• 30° + 30° + ∠AMB = 180°;
• ∠AMB = 120°;

Ответ: 120°.

Дано:

• CA, CB — касательные;
• AB = R (хорда окружности, равная радиусу);

Найти:

• ∠ACB (угол между касательными в точке пересечения);

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• Окружность с центром в точке O имеет радиус R.
• Поскольку AB — хорда окружности, а OA и OB — радиусы, то OA = OB = R.
• Так как CA и CB являются касательными, то они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания. То есть, OA ⊥ CA и OB ⊥ CB.

2) Треугольник ΔAOB — равносторонний:

• Так как OA = OB = AB (они равны радиусам окружности, а AB — хорда), то треугольник ΔAOB является равносторонним.
• В равностороннем треугольнике все углы равны, поэтому:
• ∠OBA = ∠OAB = 60°;

3) Рассмотрим треугольник ΔACB:

• В треугольнике ΔACB угол ∠BAC является углом между радиусом OA и касательной CA. Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания, то:
• ∠BAC = 90° — ∠OAB = 30° (так как угол между радиусом и касательной равен 90° и мы знаем, что угол ∠OAB равен 60°).
• Аналогично, угол ∠ABC, являющийся углом между радиусом OB и касательной CB, равен:
• ∠ABC = 90° — ∠OBA = 30° (так как ∠OBA также равен 60°).
• Теперь, используя сумму углов в треугольнике ΔACB, получаем:
• ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°;
• 30° + 30° + ∠ACB = 180°;
• ∠ACB = 120°;

Ответ: ∠ACB = 120°.