ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 545 Мерзляк — Подробные Ответы

Доказать, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведенную к его основанию.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• O — центр описанной окружности;
• CH — медиана;

Доказать:

• O ∈ CH;

Решение:

1) ΔABC равнобедренный:

• CH — медиана;
• CH — высота;

2) Рассмотрим окружность:

• CH ⊥ AB, AH = HB;
• O ∈ CH;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный треугольник;
• O — центр описанной окружности;
• CH — медиана, проведенная к основанию AB;

Докажите, что:

• O ∈ CH (центр описанной окружности лежит на медиане).

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ΔABC, который является равнобедренным, то есть AB = AC. Поскольку треугольник равнобедренный, медиана, проведенная к основанию AB, является также высотой и биссектрисой.

2) Пусть CH — медиана, проведенная из вершины C к основанию AB. По определению медианы, точка H — это точка пересечения медианы с основанием AB, которая делит его пополам. Таким образом, AH = HB.

3) Теперь рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника ΔABC. Центр этой окружности будет находиться на серединной перпендикулярной прямой, которая проходит через середину основания AB. Эта прямая также является медианой.

4) Мы знаем, что центр описанной окружности лежит на серединной перпендикулярной прямой к основанию AB. Так как медиана CH является также высотой, то она перпендикулярна основанию AB, и точка H находится на основании AB. Следовательно, центр окружности O лежит на медиане CH.

5) Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника ΔABC принадлежит медиане CH.

Что и требовалось доказать.