Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 559 Мерзляк — Подробные Ответы
В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
Дано:
O — ц. впис. окр.;
∠A = 30°;
∠B = 70°;
∠C = 80°;
Найти:
∠FED;
∠EDF;
∠DFE;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- AE = AF;
- CE = CD;
- BD = BF;
2) ΔAEF равнобедренный:
- ∠AEF = ∠AFE = (180° — ∠A)/2;
- ∠AEF = ∠AFE = (180° — 30°)/2 = 75°;
3) ΔCED равнобедренный:
- ∠CED = ∠CDE = (180° — ∠C)/2;
- ∠CED = ∠CDE = (180° — 80°)/2 = 50°;
4) ΔBFD равнобедренный:
- ∠BFD = ∠BDF = (180° — ∠B)/2;
- ∠BFD = ∠BDF = (180° — 70°)/2 = 55°;
5) В треугольнике EDF:
- ∠FED = 180° — ∠AEF — ∠CED = 55°;
- ∠EDF = 180° — ∠CDE — ∠BDF = 75°;
- ∠DFE = 180° — ∠BDF — ∠AFE = 50°;
Ответ: 55°; 75°; 50°.
Дано:
O — центр вписанной окружности;
∠A = 30°;
∠B = 70°;
∠C = 80°;
Найти:
∠FED;
∠EDF;
∠DFE;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник. Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника как F, E и D.
- По определению, точки касания окружности с треугольником делят стороны треугольника на отрезки, которые равны. То есть:
AE = AF (отрезок касания на стороне AB);
CE = CD (отрезок касания на стороне BC);
BD = BF (отрезок касания на стороне AC).
2) ΔAEF равнобедренный:
- Так как AE = AF, то треугольник AEF является равнобедренным.
- Из теоремы о сумме углов треугольника, угол ∠AEF равен углу ∠AFE.
Таким образом, можно выразить угол ∠AEF как:
∠AEF = ∠AFE = (180° — ∠A) / 2. - Поставим известные значения углов:
∠AEF = ∠AFE = (180° — 30°) / 2 = 150° / 2 = 75°.
3) ΔCED равнобедренный:
- Так как CE = CD, треугольник CED также является равнобедренным.
- Используя аналогичный подход, угол ∠CED равен углу ∠CDE.
Из теоремы о сумме углов треугольника получаем:
∠CED = ∠CDE = (180° — ∠C) / 2. - Поставим известные значения углов:
∠CED = ∠CDE = (180° — 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
4) ΔBFD равнобедренный:
- Также, так как BD = BF, треугольник BFD является равнобедренным.
- Используя аналогичный подход, угол ∠BFD равен углу ∠BDF.
Из теоремы о сумме углов треугольника получаем:
∠BFD = ∠BDF = (180° — ∠B) / 2. - Поставим известные значения углов:
∠BFD = ∠BDF = (180° — 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.
5) В треугольнике EDF:
- В треугольнике EDF, используя теорему о сумме углов треугольника, можем найти все углы:
- ∠FED = 180° — ∠AEF — ∠CED = 180° — 75° — 50° = 55°.
- ∠EDF = 180° — ∠CDE — ∠BDF = 180° — 50° — 55° = 75°.
- ∠DFE = 180° — ∠BDF — ∠AFE = 180° — 55° — 75° = 50°.
Ответ: 55°; 75°; 50°.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
