ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 559 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Дано:
O — ц. впис. окр.;
∠A = 30°;
∠B = 70°;
∠C = 80°;

Найти:
∠FED;
∠EDF;
∠DFE;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• AE = AF;
• CE = CD;
• BD = BF;

2) ΔAEF равнобедренный:

• ∠AEF = ∠AFE = (180° — ∠A)/2;
• ∠AEF = ∠AFE = (180° — 30°)/2 = 75°;

3) ΔCED равнобедренный:

• ∠CED = ∠CDE = (180° — ∠C)/2;
• ∠CED = ∠CDE = (180° — 80°)/2 = 50°;

4) ΔBFD равнобедренный:

• ∠BFD = ∠BDF = (180° — ∠B)/2;
• ∠BFD = ∠BDF = (180° — 70°)/2 = 55°;

5) В треугольнике EDF:

• ∠FED = 180° — ∠AEF — ∠CED = 55°;
• ∠EDF = 180° — ∠CDE — ∠BDF = 75°;
• ∠DFE = 180° — ∠BDF — ∠AFE = 50°;

Ответ: 55°; 75°; 50°.

Дано:
O — центр вписанной окружности;
∠A = 30°;
∠B = 70°;
∠C = 80°;

Найти:
∠FED;
∠EDF;
∠DFE;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник. Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника как F, E и D.
• По определению, точки касания окружности с треугольником делят стороны треугольника на отрезки, которые равны. То есть:
  AE = AF (отрезок касания на стороне AB);
  CE = CD (отрезок касания на стороне BC);
  BD = BF (отрезок касания на стороне AC).

2) ΔAEF равнобедренный:

• Так как AE = AF, то треугольник AEF является равнобедренным.
• Из теоремы о сумме углов треугольника, угол ∠AEF равен углу ∠AFE.
  Таким образом, можно выразить угол ∠AEF как:
  ∠AEF = ∠AFE = (180° — ∠A) / 2.
• Поставим известные значения углов:
  ∠AEF = ∠AFE = (180° — 30°) / 2 = 150° / 2 = 75°.

3) ΔCED равнобедренный:

• Так как CE = CD, треугольник CED также является равнобедренным.
• Используя аналогичный подход, угол ∠CED равен углу ∠CDE.
  Из теоремы о сумме углов треугольника получаем:
  ∠CED = ∠CDE = (180° — ∠C) / 2.
• Поставим известные значения углов:
  ∠CED = ∠CDE = (180° — 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.

4) ΔBFD равнобедренный:

• Также, так как BD = BF, треугольник BFD является равнобедренным.
• Используя аналогичный подход, угол ∠BFD равен углу ∠BDF.
  Из теоремы о сумме углов треугольника получаем:
  ∠BFD = ∠BDF = (180° — ∠B) / 2.
• Поставим известные значения углов:
  ∠BFD = ∠BDF = (180° — 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.

5) В треугольнике EDF:

• В треугольнике EDF, используя теорему о сумме углов треугольника, можем найти все углы:
• ∠FED = 180° — ∠AEF — ∠CED = 180° — 75° — 50° = 55°.
• ∠EDF = 180° — ∠CDE — ∠BDF = 180° — 50° — 55° = 75°.
• ∠DFE = 180° — ∠BDF — ∠AFE = 180° — 55° — 75° = 50°.

Ответ: 55°; 75°; 50°.