ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 572 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике АВС АВ = ВС, АМ и СК — медианы этого треугольника. Докажите, что МК||АС.

Дано:

• AB = BC;
• AM — медиана;
• CK — медиана.

Докажите, что

• MK || AC.

Решение:

1) ΔABC равнобедренный:
∠ABC = 180° − 2∠BAC;

2) Рассмотрим треугольник KBM:
BK = ½ AB = ½ BC = BM.
ΔKBM равнобедренный;
∠KBM = ½ (180° − ∠KBM);
∠KBM = ½ (180° − ∠ABC);
∠KBM = ½ (180° − (180° − 2∠BAC));
∠KBM = ½ · 2∠BAC = ∠BAC;

3) Для прямых AC и MK и секущей AB:
∠KBM = ∠BAC;
MK || AC;
Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB = BC;
• AM — медиана;
• CK — медиана.

Докажите, что

• MK || AC.

Решение:

1) Шаг 1: Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то углы при основании равны:
∠ABC = 180° − 2∠BAC. Это следует из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, и так как треугольник равнобедренный, два угла при основании равны. Поэтому угол ∠ABC можно выразить через угол ∠BAC.

2) Шаг 2: Рассмотрим треугольник KBM:

• Так как BK = ½ AB и BK = ½ BC, то треугольник KBM является равнобедренным (BK = BM).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠KBM = ∠BKM.
• Мы знаем, что угол ∠KBM равен ½ от угла ∠ABC, так как в треугольнике KBM угол ∠KBM является половиной угла ∠ABC (см. шаг 1).
• Далее, ∠KBM = ½ (180° − ∠ABC). Подставляем в это выражение ∠ABC из шага 1:

∠KBM = ½ (180° − (180° − 2∠BAC)) = ½ · 2∠BAC = ∠BAC.

• Таким образом, угол ∠KBM равен углу ∠BAC.

3) Шаг 3: Теперь, для прямых AC и MK, а также для секущей AB, мы можем использовать следующий факт: если угол между двумя прямыми равен углу между другой прямой и той же секущей, то эти прямые параллельны.
Из шага 2 мы выяснили, что ∠KBM = ∠BAC. Поскольку ∠KBM — это угол между прямыми AC и MK, мы можем утверждать, что эти прямые параллельны.
Следовательно, MK || AC, что и требовалось доказать.