ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 532 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке K, ∠AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK.

Дано:

• AK, BK — касательные;
• ∠AKB = 120°;

Докажите:

• AK + BK = OK;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R;
• OA ⊥ AK, OB ⊥ BK;

2) Рассмотрим треугольники АКО и BКО:

• OK — общая сторона;
• ∠АКО = ∠BКО по катету и гипотенузе;
• ∠АКО = ∠BКО, ∠АКО = ∠BОК;

3) В прямоугольном ∆АКО:

• ∠АКО + ∠BКО = ∠АКB;
• ∠АКО + ∠АКО = ∠АКB;
• 2∠АКО = ∠АКB;
• ∠АКО = 1/2 ∠АКB = 60°;
• ∠АКО + ∠АОК = 90°;
• 60° + ∠АОК = 90°;
• ∠АОК = 30°;
• АК = 1/2 OK;

4) В прямоугольном ∆BКО:

• ∠BОК = ∠АОК = 30°;
• BК = 1/2 OK;
• АК + BК = OK;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AK, BK — касательные;
• ∠AKB = 120°;

Докажите:

• AK + BK = OK;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• Так как AK и BK — касательные к окружности из точки K, то расстояния от точки K до точек касания A и B Bудут равны. То есть:
• OA = OB = R — радиус окружности;
• OA ⊥ AK, OB ⊥ BK — касательные перпендикулярны радиусам в точках касания;

2) Рассмотрим треугольники АКО и BКО:

• Окружности пересекаются в точке K, то есть стороны AK и BK являются касательными к одной и той же окружности;
• OK — оBщая сторона треугольников АКО и BКО;
• В треугольниках АКО и BКО ∠АКО = ∠BКО, так как по теореме о касательных к окружности из одной точки они равны.
• Так как ∠АКО = ∠BКО, это означает, что углы ∠АКО и ∠BКО равны между собой, и треугольники АКО и BКО равны по всем признакам равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3) В прямоугольном треугольнике АКО:

• Из-за того, что касательные АК и BK перпендикулярны радиусам OA и OB, треугольники АКО и BКО являются прямоугольными;
• Сумма углов в прямоугольном треугольнике АКО равна 180°, из чего можно составить следующее равенство: ∠АКО + ∠BКО = ∠АКB;
• Поскольку углы ∠АКО и ∠BКО равны, то ∠АКО = ∠BКО;
• Значит, 2∠АКО = ∠АКB;
• Площадь угла ∠АКО равна 1/2 угла ∠АКB, и он равен 60°;
• С учетом суммы углов треугольника: ∠АКО + ∠АОК = 90°;
• Из этого следует, что ∠АОК = 30°;
• Таким образом, AK = 1/2 * OK.

4) В прямоугольном треугольнике BКО:

• ∠BОК = ∠АОК = 30°;
• Из симметрии треугольников АКО и BКО, BK также равно 1/2 * OK;
• Таким образом, AK + BK = OK, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.