Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 532 Мерзляк — Подробные Ответы
Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке K, ∠AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK.
Дано:
- AK, BK — касательные;
- ∠AKB = 120°;
Докажите:
- AK + BK = OK;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- OA = OB = R;
- OA ⊥ AK, OB ⊥ BK;
2) Рассмотрим треугольники АКО и БКО:
- OK — общая сторона;
- ∠АКО = ∠БКО по катету и гипотенузе;
- ∠АКО = ∠БКО, ∠АКО = ∠БОК;
3) В прямоугольном ∆АКО:
- ∠АКО + ∠БКО = ∠АКБ;
- ∠АКО + ∠АКО = ∠АКБ;
- 2∠АКО = ∠АКБ;
- ∠АКО = 1/2 ∠АКБ = 60°;
- ∠АКО + ∠АОК = 90°;
- 60° + ∠АОК = 90°;
- ∠АОК = 30°;
- АК = 1/2 OK;
4) В прямоугольном ∆БКО:
- ∠БОК = ∠АОК = 30°;
- БК = 1/2 OK;
- АК + БК = OK;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- AK, BK — касательные;
- ∠AKB = 120°;
Докажите:
- AK + BK = OK;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- Так как AK и BK — касательные к окружности из точки K, то расстояния от точки K до точек касания A и B будут равны. То есть:
- OA = OB = R — радиус окружности;
- OA ⊥ AK, OB ⊥ BK — касательные перпендикулярны радиусам в точках касания;
2) Рассмотрим треугольники АКО и БКО:
- Окружности пересекаются в точке K, то есть стороны AK и BK являются касательными к одной и той же окружности;
- OK — общая сторона треугольников АКО и БКО;
- В треугольниках АКО и БКО ∠АКО = ∠БКО, так как по теореме о касательных к окружности из одной точки они равны.
- Так как ∠АКО = ∠БКО, это означает, что углы ∠АКО и ∠БКО равны между собой, и треугольники АКО и БКО равны по всем признакам равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
3) В прямоугольном треугольнике АКО:
- Из-за того, что касательные АК и BK перпендикулярны радиусам OA и OB, треугольники АКО и БКО являются прямоугольными;
- Сумма углов в прямоугольном треугольнике АКО равна 180°, из чего можно составить следующее равенство: ∠АКО + ∠БКО = ∠АКБ;
- Поскольку углы ∠АКО и ∠БКО равны, то ∠АКО = ∠БКО;
- Значит, 2∠АКО = ∠АКБ;
- Площадь угла ∠АКО равна 1/2 угла ∠АКБ, и он равен 60°;
- С учетом суммы углов треугольника: ∠АКО + ∠АОК = 90°;
- Из этого следует, что ∠АОК = 30°;
- Таким образом, AK = 1/2 * OK.
4) В прямоугольном треугольнике БКО:
- ∠БОК = ∠АОК = 30°;
- Из симметрии треугольников АКО и БКО, BK также равно 1/2 * OK;
- Таким образом, AK + BK = OK, что и требовалось доказать.
Что и требовалось доказать.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
