ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.77 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

К сплаву меди и цинка, который содержал меди на 4 кг больше, чем цинка, добавили 4 кг меди. Вследствие этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 7,5 %. Сколько килограммов меди содержал сплав вначале?

Пусть \(x\) кг меди было изначально, тогда:
\((x — 4)\) кг — содержится цинка;
\((x + 4)\) кг — стало меди в новом сплаве;

Содержание меди увеличилось на 7,5%:

\(
\frac{x}{x + x — 4} + 7,5\% = \frac{x + 4}{x + x — 4 + 4};
\)

\(
\frac{x}{2x — 4} + 0,075 = \frac{x + 4}{2x};
\)

\(
x \cdot 2x + 0,075 \cdot 2x (2x — 4) = (x + 4)(2x — 4);
\)

\(
2x^2 + 0,3x^2 — 0,6x = 2x^2 — 4x + 8x — 16;
\)

\(
0,3x^2 — 4,6x + 16 = 0;
\)

\(
3x^2 — 46x + 160 = 0;
\)

\(
D = 46^2 — 4 \cdot 3 \cdot 160 = 2116 — 1920 = 196,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{46 — 14}{6} = 5 \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{46 + 14}{6} = 10;
\)

Ответ: \(5 \frac{1}{3}\) кг или 10 кг.

Итак, у нас есть сплав, содержащий медь и цинк. Пусть \(x\) кг меди было изначально. В данном сплаве содержится:

— \((x — 4)\) кг цинка,
— \((x + 4)\) кг меди в новом сплаве.

Содержание меди увеличилось на 7,5%. Мы можем записать это изменение в виде уравнения:

\(
\frac{x}{x + x — 4} + 7,5\% = \frac{x + 4}{x + x — 4 + 4}
\)

Здесь слева мы имеем долю меди в старом сплаве, а справа — долю меди в новом сплаве.

Теперь преобразуем уравнение. Сначала заменим 7,5% на десятичную дробь:

\(
\frac{x}{2x — 4} + 0,075 = \frac{x + 4}{2x}
\)

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(2x(2x — 4)\) для устранения знаменателей:

\(
x \cdot 2x + 0,075 \cdot 2x(2x — 4) = (x + 4)(2x — 4)
\)

Раскроем скобки:

\(
2x^2 + 0,075 \cdot 2x(2x — 4) = (x + 4)(2x — 4)
\)

Теперь упростим левую часть:

\(
2x^2 + 0,15x^2 — 0,3x = (2x^2 — 4x + 8x — 16)
\)

Соберем все слагаемые на одной стороне:

\(
2x^2 + 0,15x^2 — 0,3x = 2x^2 + 4x — 16
\)

Это упрощается до:

\(
0,3x^2 — 4,6x + 16 = 0
\)

Умножим все уравнение на 10 для удобства:

\(
3x^2 — 46x + 160 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = b^2 — 4ac = (-46)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 160
\)

Посчитаем:

\(
D = 2116 — 1920 = 196
\)

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\)

Подставим значения:

\(
x_1 = \frac{46 — 14}{6} = \frac{32}{6} = 5 \frac{1}{3}
\)
\(
x_2 = \frac{46 + 14}{6} = \frac{60}{6} = 10
\)

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

Ответ: \(5 \frac{1}{3}\) кг или \(10\) кг.