ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.77 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть \(x\) кг воды было изначально, тогда:
4 кг — содержится соли;
\((x — 4)\) кг — стало воды в растворе;

Содержание соли увеличилось на 5%:

\(
\frac{4}{x} + 5\% = \frac{4}{x — 4};
\)

\(
4(x — 4) + 0,05x(x — 4) = 4x;
\)

\(
4x — 16 + 0,05x^2 — 0,2x = 4x;
\)

\(
0,05x^2 — 0,2x — 16 = 0;
\)

\(
x^2 — 4x — 320 = 0;
\)

\(
D = 4^2 + 4 \cdot 320 = 16 + 1280 = 1296,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{4 — 36}{2} = -16, \quad x_2 = \frac{4 + 36}{2} = 20;
\)

Ответ: 20 кг.

Итак, пусть \(x\) кг воды было изначально. В этом растворе содержится 4 кг соли, и после добавления соли у нас остается:

\(
(x — 4) \text{ кг воды в растворе.}
\)

Содержание соли увеличилось на 5%. Мы можем записать это изменение в виде уравнения:

\(
\frac{4}{x} + 0,05 = \frac{4}{x — 4}.
\)

Здесь слева \(\frac{4}{x}\) — это доля соли в старом растворе, а справа \(\frac{4}{x — 4}\) — доля соли в новом растворе.

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(x(x — 4)\) для устранения знаменателей:

\(
4(x — 4) + 0,05x(x — 4) = 4x.
\)

Раскроем скобки:

\(
4x — 16 + 0,05x^2 — 0,2x = 4x.
\)

Теперь упростим уравнение, убирая \(4x\) с обеих сторон:

\(
-16 + 0,05x^2 — 0,2x = 0.
\)

Перепишем уравнение:

\(
0,05x^2 — 0,2x — 16 = 0.
\)

Умножим все уравнение на 20 для избавления от десятичных дробей:

\(
x^2 — 4x — 320 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения:

\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-320).
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 16 + 1280 = 1296.
\)

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
\)

Подставим значения:

\(
x_1 = \frac{4 — 36}{2} = -16,
\)
\(
x_2 = \frac{4 + 36}{2} = 20.
\)

Так как количество воды не может быть отрицательным, оставляем только положительное значение.

Ответ: \(20\) кг.