ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.77 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была менее 20 %. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть \(x\) кг воды было изначально, тогда:
3 кг — содержалось соли;
9 кг — стало соли в новом растворе;

1) Содержание соли увеличилось на 15%:

\(
\frac{3}{x + 3} + 15\% = \frac{9}{x + 9};
\)

\(
3(x + 9) + 0,15(x + 3)(x + 9) = 9(x + 3);
\)

\(
3x + 27 + 0,15x^2 + 1,35x + 0,45x + 4,05 = 9x + 27;
\)

\(
0,15x^2 — 4,2x + 4,05 = 0;
\)

\(
3x^2 — 84x + 81 = 0;
\)

\(
D = 84^2 — 4 \cdot 3 \cdot 81 = 7056 — 972 = 6084,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{84 — 78}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{84 + 78}{2 \cdot 3} = \frac{162}{6} = 27;
\)

2) Концентрация соли была менее 20%:
\(
x = 27, \quad x + 3 = 27 + 3 = 30;
\)

Ответ: 30 кг.

Пусть \(x\) кг воды было изначально. В этом растворе содержится 3 кг соли, и после добавления соли у нас стало 9 кг соли в новом растворе.

1) Содержание соли увеличилось на 15%. Мы можем записать это изменение в виде уравнения:

\(
\frac{3}{x + 3} + 0,15 = \frac{9}{x + 9}.
\)

Здесь слева \(\frac{3}{x + 3}\) — это доля соли в старом растворе, а справа \(\frac{9}{x + 9}\) — доля соли в новом растворе.

Теперь умножим обе стороны уравнения на \((x + 3)(x + 9)\) для устранения знаменателей:

\(
3(x + 9) + 0,15(x + 3)(x + 9) = 9(x + 3).
\)

Раскроем скобки:

\(
3x + 27 + 0,15(x^2 + 12x + 27) = 9x + 27.
\)

Теперь упростим левую часть:

\(
3x + 27 + 0,15x^2 + 1,8x + 4,05 = 9x + 27.
\)

Соберем все слагаемые в одном уравнении:

\(
0,15x^2 + (3x + 1,8x — 9x) + (27 — 27 + 4,05) = 0.
\)

Это приводит к следующему уравнению:

\(
0,15x^2 — 4,2x + 4,05 = 0.
\)

Умножим все уравнение на 20 для избавления от десятичных дробей:

\(
3x^2 — 84x + 81 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения:

\(
D = b^2 — 4ac = (-84)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 81.
\)

Вычислим значения:

\(
D = 7056 — 972 = 6084.
\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{84 — \sqrt{6084}}{2 \cdot 3}, \quad x_2 = \frac{84 + \sqrt{6084}}{2 \cdot 3}.
\)

Вычислим корень:

\(
\sqrt{6084} = 78.
\)

Подставим это значение в формулы для корней:

\(
x_1 = \frac{84 — 78}{6} = \frac{6}{6} = 1,
\)
\(
x_2 = \frac{84 + 78}{6} = \frac{162}{6} = 27.
\)

2) Теперь проверим, что концентрация соли была менее 20%. Для этого подставим найденное значение \(x = 27\):

Общее количество воды:

\(
x + 3 = 27 + 3 = 30.
\)

Ответ: 30 кг.