ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 520 Мерзляк — Подробные Ответы

В окружности с центром O через середину радиуса проведи перпендикулярную ему хорду AB. Докажите, что ∠AOB = 120°.

Дано:

• OM = CM;
• AB ⊥ OC;

Доказать:

• ∠AOB = 120°;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = OC = R;
• OM = 1/2 OC = 1/2 R;

2) В прямоугольном треугольнике ΔAOM:

• OM = 1/2 OA;
• ∠OAM = 30°;

3) ΔAOB равнобедренный:

• ∠OBA = ∠OAB = 30°;
• ∠OBA + ∠OAB + ∠AOB = 180°;
• 30° + 30° + ∠AOB = 180°;
• ∠AOB = 120°;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• OM = CM;
• AB ⊥ OC;

Доказать:

• ∠AOB = 120°;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

В данном случае точка O — это центр окружности, а OC — радиус окружности. По определению окружности все радиусы равны, следовательно:

• OA = OB = OC = R;
• Кроме того, так как OM = CM и OM — это отрезок, который делит радиус OC пополам, то:
• OM = 1/2 OC = 1/2 R;

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAOM:

В этом треугольнике мы имеем два катета — OM и OA, а также прямой угол при вершине O. Треугольник является прямоугольным, и можно использовать стандартные соотношения для углов:

• OM = 1/2 OA, потому что мы уже доказали, что OM — это половина радиуса окружности;
• ∠OAM — это угол между радиусом OA и перпендикуляром, проведённым к хорде AB. Это угол равен 30° (вычисляется через свойства прямоугольных треугольников и их углов);

3) ΔAOB — равнобедренный треугольник:

Так как стороны OA и OB равны (оба они радиусы окружности), то треугольник ΔAOB является равнобедренным. Из свойств равнобедренных треугольников следует, что углы при основании равны, то есть:

• ∠OBA = ∠OAB = 30°;
• Теперь, используя сумму углов в треугольнике, мы можем найти угол ∠AOB:
• ∠OBA + ∠OAB + ∠AOB = 180°;
• 30° + 30° + ∠AOB = 180°;
• ∠AOB = 120°;

Что и требовалось доказать.