ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 527 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ABC = 30°.

Дано:

• BC — диаметр;
• AD — касатель;
• ∠ABC = 30°;

Доказать:

• ΔABD — равнобедренный;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R;
• OA ⊥ AD;

2) ∠OAB равнобедренный:

• ∠OAB = ∠OBA = 30°;

3) Рассмотрим треугольник ABD:

• ∠BAD = 90° + 30° = 120°;
• ∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°;
• 30° + 120° + ∠ADB = 180°;
• ∠ADB = 30° = ∠ABD;

4) ΔABD — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• BC — диаметр окружности;
• AD — касательная к окружности;
• ∠ABC = 30°;

Доказать:

• ΔABD — равнобедренный;

Решение:

1) Шаг 1: Рассмотрим окружность.

• Пусть O — центр окружности.
• Из геометрии известно, что радиусы окружности равны между собой. То есть: OA = OB = R.
• Так как AD — касательная к окружности, то она перпендикулярна к радиусу в точке касания, то есть: OA ⊥ AD.

2) Шаг 2: Рассмотрим треугольник OAB.

• Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть: ∠OAB = ∠OBA.
• Из условия задачи известно, что ∠ABC = 30°.
• Так как углы ∠OBA и ∠ABC составляют вместе угол ∠OBC, то: ∠OBA = 30°.

3) Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABD.

• Теперь рассмотрим угол ∠BAD в треугольнике ABD.
• Так как ∠OBA = 30° и ∠OBA + ∠BAD = 90° (угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90°), то: ∠BAD = 90° — 30° = 60°.
• Теперь рассмотрим угол ∠ABD в треугольнике ABD. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому:
• ∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°.
• Подставляем известные значения: ∠ABD + 60° + ∠ADB = 180°.
• Зная, что ∠ABD = ∠ADB (по теореме о касательной и радиусе), получаем: 2∠ABD + 60° = 180°.
• Отсюда ∠ABD = 60°.

4) Шаг 4: Заключение.

• Мы доказали, что углы ∠ABD и ∠ADB равны. Это значит, что треугольник ABD равнобедренный.

Что и требовалось доказать.