ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 538 Мерзляк — Подробные Ответы

В остром угольном треугольнике ABC проведена биссектрисса BM. Из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK. Оказалось, что ∠ABM = ∠KMC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Дано:

• BM — биссектрисса ∠ABC;
• MK ⊥ BC;
• ∠ABM = ∠KMC;

Докажите:

• ∆ABC — равнобедренный;

Решение:

1) В прямоугольном ∆BMK:

• ∠MBK = ∠ABM = ∠KMC;
• ∠MBK = ∠LMK = 90°;
• ∠MBK + ∠LMK = 90°;
• ∠MBK = 90° — ∠KMC;

2) Величина угла ∠BMC:

• ∠BMC = ∠MBK + ∠KMC;
• ∠BMC = 90° — ∠KMC + ∠KMC;
• ∠BMC = 90°;

3) Рассмотрим треугольник ABC:

• BM — биссектрисса и высота;
• ∆ABC — равнобедренный;
• Что и требовалось доказать.

Дано:

• BM — биссектрисса ∠ABC;
• MK ⊥ BC;
• ∠ABM = ∠KMC;

Докажите:

• ∆ABC — равнобедренный;

Решение:

1) В прямоугольном ∆BMK:

• ∠MBK = ∠ABM = ∠KMC, так как они противоположны при пересечении биссектриссы и перпендикуляра.
• Из того, что угол ∠MBK прямой (по свойствам прямоугольного треугольника), получаем:
• ∠MBK + ∠LMK = 90°;
• Таким образом, ∠MBK = 90° — ∠KMC;

2) Величина угла ∠BMC:

• Рассмотрим угол ∠BMC, который равен сумме углов ∠MBK и ∠KMC:
• ∠BMC = ∠MBK + ∠KMC;
• Подставляем значение ∠MBK из предыдущего шага:
• ∠BMC = (90° — ∠KMC) + ∠KMC = 90°;

3) Рассмотрим треугольник ABC:

• BM является как биссектриссой, так и высотой треугольника ∆ABC.
• Это означает, что треугольник ∆ABC имеет два равных угла, а значит, он является равнобедренным.
• Таким образом, доказано, что треугольник ∆ABC — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.