ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 549 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 306 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно. Докажите, что угол O₁D O₂ прямой.

Дано:
O₁ — ц. впис. окр.;
O₂ — ц. впис. окр.;
Доказать:
∠O₁D O₂ = 90°;

Решение:

1) Для окружности с центром O₁:
∠BDO₁ = 1/2 ∠BDA;

2) Для окружности с центром O₂:
∠BDO₂ = 1/2 ∠BDC;

3) Величина угла:
∠O₁DO₂ = ∠BDO₁ + ∠BDO₂;
∠O₁DO₂ = 1/2 ∠BDA + 1/2 ∠BDC;
∠O₁DO₂ = 1/2 ∠ADC = 90°;

Что и требовалось доказать.

Дано:
O₁ — центр вписанной окружности в треугольнике ABD;
O₂ — центр вписанной окружности в треугольнике CBD;
Доказать:
∠O₁DO₂ = 90°;

Решение:

1) Для окружности с центром O₁:
В треугольнике ABD окружность вписана, и ее центр — O₁. Из геометрии известно, что угол между стороной треугольника и касательной к окружности в точке касания равен углу между стороной треугольника и соединяющей вершину с центром окружности. В данном случае это угол ∠BDO₁, который является углом между стороной BD и касательной к окружности, и он равен половине угла ∠BDA, так как это угол, образующийся между стороной и касательной.
Таким образом, получаем:
∠BDO₁ = 1/2 ∠BDA;

2) Для окружности с центром O₂:
Аналогично, в треугольнике CBD окружность вписана, и ее центр — O₂. Также, угол ∠BDO₂, который образуется между стороной BD и касательной в точке D, равен половине угла ∠BDC, так как этот угол также связан с касательной к окружности и стороной треугольника.
Таким образом, получаем:
∠BDO₂ = 1/2 ∠BDC;

3) Величина угла O₁DO₂:
Теперь, чтобы найти величину угла O₁DO₂, сложим два угла, которые мы получили на предыдущих шагах:
∠O₁DO₂ = ∠BDO₁ + ∠BDO₂.
Подставляем значения:
∠O₁DO₂ = 1/2 ∠BDA + 1/2 ∠BDC.
Теперь заметим, что углы ∠BDA и ∠BDC являются смежными углами на прямой линии BD. Таким образом, их сумма равна 180°:
∠BDA + ∠BDC = 180°.
Подставляем это значение в формулу для угла O₁DO₂:
∠O₁DO₂ = 1/2 * 180° = 90°;

Таким образом, мы доказали, что угол O₁DO₂ является прямым, то есть ∠O₁DO₂ = 90°.