Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 549 Мерзляк — Подробные Ответы
На рисунке 306 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно. Докажите, что угол O1D O2 прямой.
Дано:
O1 — ц. впис. окр.;
O2 — ц. впис. окр.;
Доказать:
∠O1D O2 = 90°;
Решение:
1) Для окружности с центром O1:
∠BDO1 = 1/2 ∠BDA;
2) Для окружности с центром O2:
∠BDO2 = 1/2 ∠BDC;
3) Величина угла:
∠O1DO2 = ∠BDO1 + ∠BDO2;
∠O1DO2 = 1/2 ∠BDA + 1/2 ∠BDC;
∠O1DO2 = 1/2 ∠ADC = 90°;
Что и требовалось доказать.
Дано:
O1 — центр вписанной окружности в треугольнике ABD;
O2 — центр вписанной окружности в треугольнике CBD;
Доказать:
∠O1DO2 = 90°;
Решение:
1) Для окружности с центром O1:
В треугольнике ABD окружность вписана, и ее центр — O1. Из геометрии известно, что угол между стороной треугольника и касательной к окружности в точке касания равен углу между стороной треугольника и соединяющей вершину с центром окружности. В данном случае это угол ∠BDO1, который является углом между стороной BD и касательной к окружности, и он равен половине угла ∠BDA, так как это угол, образующийся между стороной и касательной.
Таким образом, получаем:
∠BDO1 = 1/2 ∠BDA;
2) Для окружности с центром O2:
Аналогично, в треугольнике CBD окружность вписана, и ее центр — O2. Также, угол ∠BDO2, который образуется между стороной BD и касательной в точке D, равен половине угла ∠BDC, так как этот угол также связан с касательной к окружности и стороной треугольника.
Таким образом, получаем:
∠BDO2 = 1/2 ∠BDC;
3) Величина угла O1DO2:
Теперь, чтобы найти величину угла O1DO2, сложим два угла, которые мы получили на предыдущих шагах:
∠O1DO2 = ∠BDO1 + ∠BDO2.
Подставляем значения:
∠O1DO2 = 1/2 ∠BDA + 1/2 ∠BDC.
Теперь заметим, что углы ∠BDA и ∠BDC являются смежными углами на прямой линии BD. Таким образом, их сумма равна 180°:
∠BDA + ∠BDC = 180°.
Подставляем это значение в формулу для угла O1DO2:
∠O1DO2 = 1/2 * 180° = 90°;
Таким образом, мы доказали, что угол O1DO2 является прямым, то есть ∠O1DO2 = 90°.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
