ГДЗ Мерзляк 7 Класс по Геометрии Полонский Учебник 📕 Якир — Все Части

Геометрия

7 класс учебник Мерзляк

7 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2008, 2015, 2016

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.

ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 556 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равнобедренный.

Краткий ответ:

Дано:
O — ц. впис. окр.;
O — ц. опис. окр.

Решение:
1) Проведем биссектрисы ΔABC:
AE для угла ∠CAB;
CN для угла ∠ACB;
2) Для вписанной окружности:
∠CAE = ∠BAE;
∠ACH = ∠BCH;
O ∈ AE, O ∈ CH;
3) Для описанной окружности:
O ∈ AE, O ∈ CH;
O ∈ CB, CN ⊥ AB;
CE = EB, AH = HB;
4) Рассмотрим треугольник ABC:
AE, CN — высота и медиана;
ΔABC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
O — центр вписанной окружности (инцентр);
O — центр описанной окружности (циркумцентр).

Решение:
1) Проведем биссектрисы углов треугольника ΔABC:
В каждой вершине угла треугольника проведем биссектрису:

AE — биссектрису угла ∠CAB;
CN — биссектрису угла ∠ACB.

Биссектрисы в треугольнике обладают свойством, что точка их пересечения (инцентр) находится на равном расстоянии от всех сторон треугольника, и, следовательно, точка O будет лежать на этих биссектрисах.

2) Свойства для вписанной окружности:
Для вписанной окружности выполняются следующие равенства углов:

∠CAE = ∠BAE (углы при одной и той же вершине);
∠ACH = ∠BCH (аналогично для других углов).

Также, так как точка O лежит на обеих биссектрисах, то:

O ∈ AE (центр вписанной окружности лежит на биссектрисе);
O ∈ CH (центр вписанной окружности лежит на другой биссектрисе).

3) Свойства для описанной окружности:
Для описанной окружности, которая окружает треугольник, выполняются следующие свойства:

Центр описанной окружности O лежит на биссектрисах;
O ∈ CB, и одна из биссектрис перпендикулярна к стороне AB, то есть CN ⊥ AB.

Также, из того, что O является центром описанной окружности:

CE = EB (радиусы окружности равны);
AH = HB (два радиуса окружности).

4) Рассмотрим треугольник ABC:
Рассмотрим теперь сам треугольник ABC. Из того, что AE и CN являются высотой и медианой (так как биссектрисы одновременно могут быть высотами и медианами в равнобедренных треугольниках), мы можем сделать вывод:

AE = CN — это высота и медиана для равнобедренного треугольника;
ΔABC — равнобедренный треугольник, так как две стороны, прилегающие к углу, являются равными (обусловлено равенством радиусов).

Таким образом, мы доказали, что треугольник равнобедренный.

Что требовалось доказать:
Треугольник ΔABC — равнобедренный, как и требовалось доказать.

Оцени решение