Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 560 Мерзляк — Подробные Ответы
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN || AC.
Дано:
- O — ц. впис. окр;
- ΔABC — равнобедренный;
Доказать:
- MN || AC;
Решение:
- Рассмотрим окружность: BM = BN;
- ΔBMN равнобедренный: <BMN = <BNM = 1/2(180° — <MBN);
- ΔABC равнобедренный: <BAC = <BCA = 1/2(180° — <ABC);
- Для прямых AC и MN, пересекающих AB: <BAG = 1/2(180° — <B) = <BMN;
- AC || MN;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- O — центр вписанной окружности (инцентр);
- ΔABC — равнобедренный треугольник;
Доказать:
- MN || AC;
Решение:
1) Рассмотрим окружность: Так как окружность вписана в треугольник, она касается его боковых сторон AB и BC. Точки касания окружности с этими сторонами обозначены как M и N. Кроме того, так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектрисы углов при вершинах B и C будут одинаковыми по длине и пересекутся в центре окружности (точке O). Мы имеем, что:
- BM = BN (так как они являются отрезками, которые соединяют вершину B с точками касания окружности с боковыми сторонами).
2) ΔBMN — равнобедренный: Из-за того, что BM = BN, треугольник BMN является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, и мы можем записать, что:
- <BMN = <BNM = 1/2(180° — <MBN), где <MBN — это угол при вершине треугольника BMN.
3) ΔABC — равнобедренный: Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны. Таким образом, мы можем записать, что:
- <BAC = <BCA = 1/2(180° — <ABC), где <ABC — это угол при вершине треугольника ABC.
4) Для прямых AC и MN, пересекающих AB: Мы анализируем прямые AC и MN, которые пересекают отрезок AB. Углы, образованные этими прямыми, равны. Запишем:
- <BAG = 1/2(180° — <B) = <BMN (где <B — угол при вершине треугольника ABC).
5) Заключение: Мы установили, что углы, образованные прямыми AC и MN, равны. Поскольку углы при пересечении двух прямых совпадают, это означает, что прямые AC и MN параллельны. Таким образом, мы можем заключить, что:
- AC || MN;
Что и требовалось доказать.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
