ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 560 Мерзляк — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN || AC.

Дано:

• O — ц. впис. окр;
• ΔABC — равнобедренный;

Доказать:

• MN || AC;

Решение:

1. Рассмотрим окружность: BM = BN;
2. ΔBMN равнобедренный: <BMN = <BNM = 1/2(180° — <MBN);
3. ΔABC равнобедренный: <BAC = <BCA = 1/2(180° — <ABC);
4. Для прямых AC и MN, пересекающих AB: <BAG = 1/2(180° — <B) = <BMN;
5. AC || MN;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• O — центр вписанной окружности (инцентр);
• ΔABC — равнобедренный треугольник;

Доказать:

• MN || AC;

Решение:

1) Рассмотрим окружность: Так как окружность вписана в треугольник, она касается его боковых сторон AB и BC. Точки касания окружности с этими сторонами обозначены как M и N. Кроме того, так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектрисы углов при вершинах B и C будут одинаковыми по длине и пересекутся в центре окружности (точке O). Мы имеем, что:

• BM = BN (так как они являются отрезками, которые соединяют вершину B с точками касания окружности с боковыми сторонами).

2) ΔBMN — равнобедренный: Из-за того, что BM = BN, треугольник BMN является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, и мы можем записать, что:

• <BMN = <BNM = 1/2(180° — <MBN), где <MBN — это угол при вершине треугольника BMN.

3) ΔABC — равнобедренный: Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны. Таким образом, мы можем записать, что:

• <BAC = <BCA = 1/2(180° — <ABC), где <ABC — это угол при вершине треугольника ABC.

4) Для прямых AC и MN, пересекающих AB: Мы анализируем прямые AC и MN, которые пересекают отрезок AB. Углы, образованные этими прямыми, равны. Запишем:

• <BAG = 1/2(180° — <B) = <BMN (где <B — угол при вершине треугольника ABC).

5) Заключение: Мы установили, что углы, образованные прямыми AC и MN, равны. Поскольку углы при пересечении двух прямых совпадают, это означает, что прямые AC и MN параллельны. Таким образом, мы можем заключить, что:

• AC || MN;

Что и требовалось доказать.