Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 561 Мерзляк — Подробные Ответы
Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямоугольный.
Дано:
O — центр описанной окружности;
O ∈ AB;
Доказать:
ΔABC — равнобедренный;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OA = OB = OC;
2) ΔAOC равнобедренный:
∠AOC = 180° — 2∠OCA;
3) ΔBOC равнобедренный:
∠BOC = 180° — 2∠OCB;
4) Сумма смежных углов:
∠AOC + ∠BOC = 180°;
180° — 2∠OCA + 180° — 2∠OCB = 180°;
2∠OCA + 2∠OCB = 360° — 180°;
2(∠OCA + ∠OCB) = 180°;
∠ACB = 90°;
Что и требовалось доказать.
Дано:
O — центр описанной окружности;
O ∈ AB;
Доказать:
ΔABC — прямоугольный.
Решение:
1) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ΔABC. Из свойств окружности, описанной около треугольника, известно, что радиусы всех трех сторон треугольника равны. То есть:
OA = OB = OC;
2) Поскольку точка O лежит на стороне AB, то треугольник ΔAOC является равнобедренным. Рассмотрим угол ∠AOC, который является центральным углом для дуги AC. Тогда:
- ∠AOC = 180° — 2∠OCA. Здесь ∠OCA — это угол между радиусом OA и касательной к окружности в точке A.
3) Аналогично, треугольник ΔBOC также равнобедренный, и угол ∠BOC, который является центральным углом для дуги BC, можно выразить через угол ∠OCB:
- ∠BOC = 180° — 2∠OCB.
4) Теперь рассмотрим сумму смежных углов. Мы знаем, что сумма углов вокруг точки O должна быть равна 360°, так как она окружает полную окружность. Поэтому:
- ∠AOC + ∠BOC = 180°;
- Подставляем значения: 180° — 2∠OCA + 180° — 2∠OCB = 180°;
- Упрощаем выражение: 2∠OCA + 2∠OCB = 360° — 180°;
- Получаем: 2(∠OCA + ∠OCB) = 180°;
- Таким образом, ∠ACB = 90°.
Что и требовалось доказать: треугольник ΔABC — прямоугольный.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
