ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 562 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M, BC = a. Докажите, что AM = p — a, где p — полупериметр треугольника ABC.

Дано:
O — центр вписанной окружности;
BC = a;
Докажите:
AM = p — a;

Решение:

1) Рассмотрим окружность: AK = AM;
BM = BN;
CN = CK;

2) В треугольнике ABC:
P = AB + BC + AC;
P = AM + BM + BN + CN + CK + AK;
P = AM + BN + BN + CN + CN + AM;
P = 2AM + 2BN + 2CN;
AM = P — BN — CN — BC;
AM = P — BC = p — a;
Что и требовалось доказать.

Дано:
O — центр вписанной окружности;
BC = a;
Докажите:
AM = p — a;

Решение:

1) Рассмотрим окружность: Поскольку окружность вписана в треугольник, она касается всех сторон треугольника. Точки касания окружности с сторонами называются касательными точками. В этом случае окружность касается стороны AB в точке M. Так как касательная из одной точки к окружности равна, то:

• AK = AM, потому что касательные к окружности, проведенные из одной точки (A), равны;
• BM = BN, так как касательные из точки B равны;
• CN = CK, так как касательные из точки C равны.

2) В треугольнике ABC: Рассмотрим полупериметр треугольника ABC, который равен половине периметра треугольника. Полупериметр можно выразить как сумму длин всех сторон, деленную на 2. Периметр треугольника ABC равен:

• P = AB + BC + AC;

Давайте подставим выражения для сторон:

• P = AM + BM + BN + CN + CK + AK;

Подставляем равенства касательных и упрощаем:

• P = AM + BN + BN + CN + CN + AM;
• P = 2AM + 2BN + 2CN;

Теперь выделим AM:

• AM = P — BN — CN — BC;

Так как BC = a, то:

• AM = P — a = p — a;

Что и требовалось доказать.