ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 565 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD.

Дано:

• O₁, O₂ — центры вписанных окружностей;
• BD — медиана ΔABC;
• AB = 7 см; BC = 8 см;

Найти:

• M₁ M₂;

Решение:

1) В треугольнике ABD:

• P = AB + BD + AD;
• P = 7 + BD + 1/2 AC;
• p = 3,5 + 1/2 BD + 1/4 AC;
• DM₁ = p — AB;
• DM₁ = 1/2 BD + 1/2 AC — 3,5;

2) В треугольнике CBD:

• P = CB + BD + CD;
• P = 8 + BD + 1/2 AC;
• p = 4 + 1/2 BD + 1/4 AC;
• DM₂ = p — AB;
• DM₂ = 1/2 BD + 1/2 AC — 4;

3) Длина искомого отрезка:

• M₁ M₂ = DM₁ — DM₂;
• M₁ M₂ = -3,5 + 4 = 0,5 см;

Ответ: 0,5 см.

Дано:

• O₁, O₂ — центры вписанных окружностей;
• BD — медиана треугольника ΔABC, то есть отрезок, соединяющий вершину треугольника B с серединой стороны AC;
• AB = 7 см — длина одной из сторон треугольника;
• BC = 8 см — длина другой стороны треугольника;

Найти:

• M₁ M₂ — расстояние между точками касания двух окружностей с отрезком BD. Мы ищем это расстояние, используя геометрические и алгебраические методы.

Решение:

1) Шаг 1: Периметр треугольника ABD

• Периметр треугольника ABD, где BD — медиана, равен сумме всех его сторон: AB, BD и AD. Поскольку AD — это половина основания AC (так как BD — медиана), то имеем:
• P = AB + BD + AD = 7 + BD + 1/2 AC;
• Теперь выразим периметр через параметры, для которых нам известны только AB и BD. Положим, что периметр равен p, таким образом:
• p = 3,5 + 1/2 BD + 1/4 AC;
• Используем найденное значение p для дальнейших вычислений.

2) Шаг 2: Определение расстояния от точки касания первой окружности с отрезком BD (DM₁)

• Для нахождения расстояния от точки касания первой окружности (точка M₁) с отрезком BD, нужно вычесть длину стороны AB из периметра:
• DM₁ = p — AB;
• DM₁ = 1/2 BD + 1/2 AC — 3,5;
• Таким образом, находим первую длину отрезка касания.

3) Шаг 3: Периметр треугольника CBD

• Теперь рассмотрим треугольник CBD. Периметр этого треугольника равен сумме сторон CB, BD и CD, где CD также равно половине основания AC. Периметр будет:
• P = CB + BD + CD;
• P = 8 + BD + 1/2 AC;
• Также выразим этот периметр через p, аналогично предыдущим вычислениям:
• p = 4 + 1/2 BD + 1/4 AC;
• Теперь продолжаем вычисления.

4) Шаг 4: Определение расстояния от точки касания второй окружности с отрезком BD (DM₂)

• Для нахождения расстояния от точки касания второй окружности (точка M₂) с отрезком BD, нужно вычесть длину стороны AB из полученного периметра:
• DM₂ = p — AB;
• DM₂ = 1/2 BD + 1/2 AC — 4;
• Таким образом, находим вторую длину отрезка касания.

5) Шаг 5: Нахождение расстояния между точками касания окружностей (M₁ M₂)

• Для нахождения расстояния между точками касания окружностей с отрезком BD, нужно вычесть длину DM₂ из длины DM₁:
• M₁ M₂ = DM₁ — DM₂;
• Подставляем полученные значения для DM₁ и DM₂:
• M₁ M₂ = -3,5 + 4 = 0,5 см;

Ответ: 0,5 см.