ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 566 Мерзляк — Подробные Ответы

Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 309). Докажите, что ∠AMN = ∠CMN.

Дано:
∠BAE = ∠EAD = ∠DAC;
∠BCF = ∠FCG = ∠GCA;

Докажите:
∠AMN = ∠CMN;

Решение:
1) В треугольнике AMC:
∠MAN = ∠CAN;
∠MCN = ∠ACN;

2) Точка N является центром вписанной в ΔAMC окружности:
∠AMN = ∠CMN;

Что и требовалось доказать.

Дано:
∠BAE = ∠EAD = ∠DAC;
∠BCF = ∠FCG = ∠GCA;

Докажите:
∠AMN = ∠CMN;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник AMC, в котором угол ∠MAN является равным углу ∠CAN, так как они оба равны 1/3 угла ∠BAC, который был разделён на три равные части. Таким образом, мы имеем:

• ∠MAN = ∠CAN;
• Следовательно, ∠MCN также будет равен углу ∠ACN, так как они оба являются 1/3 угла ∠ACB.
• ∠MCN = ∠ACN;

2) Точка N является центром вписанной окружности в треугольник AMC. Это свойство центра вписанной окружности даёт нам, что углы, образованные радиусами окружности и сторонами треугольника, равны. Таким образом, угол ∠AMN будет равен углу ∠CMN, так как это углы при одной и той же точке, и они расположены симметрично относительно биссектрисы угла ∠A.

Таким образом, мы доказали, что:

• ∠AMN = ∠CMN.

Что и требовалось доказать.