Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 568 Мерзляк — Подробные Ответы
Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 311). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC. Найдите углы треугольника ABC.
Дано: F — ц. впис. окр.; O — ц. опис. окр.; ΔABC — равнобедренный; FH = OH; | Решение: 1) Для вписанной окружности: O е ВН; ΔABH = ΔCBH; ∠BAF = ∠CBH; 2) Для описанной окружности: 3) Рассмотрим треугольник FAO: 4) ΔABO равнобедренный: 5) В треугольнике ABC: 6) ΔABC равнобедренный: |
Ответ:
∠A = 36°; ∠B = 108°; ∠C = 36°.
Дано: F — центр вписанной окружности; O — центр описанной окружности; ΔABC — равнобедренный треугольник; FH = OH; | Решение: 1) Для вписанной окружности: Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC, то по свойству биссектрисы мы знаем, что треугольник ΔABH равен треугольнику ΔCBH. Это означает, что ∠BAF = ∠CBH. 2) Для описанной окружности: Точки A и B лежат на окружности, соответственно, OA = OB = R (радиус окружности). Также точка O лежит на прямой BH, то есть O е BH. Поскольку BH = AC и AH = CH, можем утверждать, что треугольники ΔOAH и ΔOCH равны. 3) Рассмотрим треугольник FAO: AH — высота и медиана. По свойствам медианы мы можем утверждать, что ∠FAH = ∠HAO. Таким образом, ∠FAH = 1/2 ∠AFO. Далее, учитывая, что ∠AFO = 180° — 2 ∠ABH, получаем, что ∠FAH = 180° — 2 ∠ABH. 4) Рассматриваем ΔABO, который является равнобедренным. Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, ∠ABO = ∠OAB. Так как ∠BOA = 180° — 2 ∠AFO, то ∠AOF = 180° — 2 ∠ABH. 5) Теперь перейдем к треугольнику ABC. В треугольнике ABC углы при основании равны, поэтому мы можем выразить углы через углы, полученные на предыдущих шагах. Сначала находим угол ∠BAC: ∠BAC = 2 ∠FAH = 180° — 2 ∠AFO. Подставляем выражение для ∠AFO: ∠BAC = 180° — 2(180° — 2 ∠ABH), что даёт ∠BAC = 180° — 360° + 4 ∠ABH, и в итоге получаем ∠BAC = 4 ∠ABH — 180°. 6) В треугольнике ABC все углы складываются в 180°. Поскольку треугольник равнобедренный, то ∠A = ∠C, и мы можем выразить угол B через другие углы: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Подставляем ∠A = ∠C, получаем ∠A + 2 ∠ABH + ∠A = 180°, откуда получаем 2 ∠BAC + 2 ∠ABH = 180°. Таким образом, ∠BAC + ∠ABH = 90°. Затем 4 ∠ABH = 180° — ∠ABH, и решаем: 5 ∠ABH = 270°, откуда ∠ABH = 54°. Таким образом, ∠B = 2 ∠ABH = 108°, и находим угол ∠A: 2 ∠ABH + ∠BAC = 180° — 36°. |
Ответ:
∠A = 36°; ∠B = 108°; ∠C = 36°.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.