1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Геометрия
7 класс учебник Мерзляк
7 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Год
2008, 2015, 2016
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.

Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.

Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.

Основные достоинства учебника:

  1. Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.

  2. Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.

  3. Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.

  4. Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.

  5. Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.

В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.

ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 568 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 311). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC. Найдите углы треугольника ABC.

Краткий ответ:

Дано:
F — ц. впис. окр.;
O — ц. опис. окр.;
ΔABC — равнобедренный;
FH = OH;
Решение:
1) Для вписанной окружности:
O е ВН;
ΔABH = ΔCBH;
∠BAF = ∠CBH;

2) Для описанной окружности:
OA = OB = R;
O е ВН;
BH = AC; AH = CH;

3) Рассмотрим треугольник FAO:
AH — высота и медиана;
∠FAH = ∠HAO = 1/2 ∠AFO;
∠AFO = 180° — 2 ∠ABH;
∠FAH = 180° — 2 ∠ABH;

4) ΔABO равнобедренный:
∠ABO = ∠OAB;
∠BOA = 180° — 2 ∠AFO;
∠AOF = 180° — 2 ∠ABH;

5) В треугольнике ABC:
∠BAC = 2 ∠FAH = 180° — 2 ∠AFO;
∠BAC = 180° — 2(180° — 2 ∠ABH);
∠BAC = 180° — 360° + 4 ∠ABH;
∠BAC = 4 ∠ABH — 180°;

6) ΔABC равнобедренный:
∠A = ∠C;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + 2 ∠ABH + ∠A = 180°;
2 ∠BAC + 2 ∠ABH = 180°;
∠BAC + ∠ABH = 90°;
4 ∠ABH = 180° — ∠ABH = 90°;
5 ∠ABH = 270°;
∠ABH = 54°;
∠B = 2 ∠ABH = 108°;
2 ∠ABH + ∠BAC = 180° — 36°;

Ответ:
∠A = 36°; ∠B = 108°; ∠C = 36°.

Подробный ответ:

Дано:
F — центр вписанной окружности;
O — центр описанной окружности;
ΔABC — равнобедренный треугольник;
FH = OH;
Решение:
1) Для вписанной окружности:
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC, то по свойству биссектрисы мы знаем, что треугольник ΔABH равен треугольнику ΔCBH. Это означает, что ∠BAF = ∠CBH.
2) Для описанной окружности:
Точки A и B лежат на окружности, соответственно, OA = OB = R (радиус окружности). Также точка O лежит на прямой BH, то есть O е BH. Поскольку BH = AC и AH = CH, можем утверждать, что треугольники ΔOAH и ΔOCH равны.
3) Рассмотрим треугольник FAO:
AH — высота и медиана. По свойствам медианы мы можем утверждать, что ∠FAH = ∠HAO. Таким образом, ∠FAH = 1/2 ∠AFO.
Далее, учитывая, что ∠AFO = 180° — 2 ∠ABH, получаем, что ∠FAH = 180° — 2 ∠ABH.
4) Рассматриваем ΔABO, который является равнобедренным. Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, ∠ABO = ∠OAB. Так как ∠BOA = 180° — 2 ∠AFO, то ∠AOF = 180° — 2 ∠ABH.
5) Теперь перейдем к треугольнику ABC. В треугольнике ABC углы при основании равны, поэтому мы можем выразить углы через углы, полученные на предыдущих шагах. Сначала находим угол ∠BAC:
∠BAC = 2 ∠FAH = 180° — 2 ∠AFO. Подставляем выражение для ∠AFO: ∠BAC = 180° — 2(180° — 2 ∠ABH), что даёт ∠BAC = 180° — 360° + 4 ∠ABH, и в итоге получаем ∠BAC = 4 ∠ABH — 180°.
6) В треугольнике ABC все углы складываются в 180°. Поскольку треугольник равнобедренный, то ∠A = ∠C, и мы можем выразить угол B через другие углы:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставляем ∠A = ∠C, получаем ∠A + 2 ∠ABH + ∠A = 180°, откуда получаем 2 ∠BAC + 2 ∠ABH = 180°. Таким образом, ∠BAC + ∠ABH = 90°. Затем 4 ∠ABH = 180° — ∠ABH, и решаем: 5 ∠ABH = 270°, откуда ∠ABH = 54°.
Таким образом, ∠B = 2 ∠ABH = 108°, и находим угол ∠A:
2 ∠ABH + ∠BAC = 180° — 36°.

Ответ:
∠A = 36°; ∠B = 108°; ∠C = 36°.


Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.

Общая оценка
3.9 / 5
Комментарии
Другие предметы