Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 617 Мерзляк — Подробные Ответы
В треугольнике ABC, где AB = BC, AE и CF — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что EF || AC.
Дано:
- AB = BC;
- AE = биссектрисa ∠A;
- CF = биссектрисa ∠C;
Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный:
- ∠BAC = ∠BCA;
- ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°;
- ∠BAC + ∠BAC + ∠ABC = 180°;
- 2∠BAC = 180° — ∠ABC;
- ∠BAC = 180° — 2∠ABC;
2) Рассмотрим треугольники AFC и CEA:
- ∠ACF = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠CEA;
- AC — общая сторона;
- ∠AFC = ∠CEA — по второму признаку;
- ∠AFE = ∠CEF;
3) Рассмотрим треугольник FBE:
- ∠EFB = 180° — ∠AFE;
- ∠FEB = 180° — ∠CEF;
- ∠EFB = ∠FEB;
- ∠EFB + ∠FEB = 180°;
- ∠EFB + ∠EFB + ∠ABC = 180°;
- 2∠EFB = 2∠BAC;
- ∠EFB = ∠BAC;
4) Для прямых AC и FE и секущей AB:
- ∠CAB = ∠EFB;
- AC || FE;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- AB = BC — треугольник ABC равнобедренный, так как две его стороны равны;
- AE = биссектрисa угла ∠A — AE делит угол ∠A пополам;
- CF = биссектрисa угла ∠C — CF делит угол ∠C пополам.
Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный:
- Поскольку AB = BC, то углы ∠BAC и ∠BCA равны, то есть ∠BAC = ∠BCA;
- Сумма углов треугольника всегда равна 180°: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°;
- Так как ∠BAC = ∠BCA, то выражение можно упростить: ∠BAC + ∠BAC + ∠ABC = 180°;
- Перепишем это как: 2∠BAC + ∠ABC = 180°;
- Отсюда, выразив ∠BAC, получаем: ∠BAC = (180° — ∠ABC) / 2;
- Таким образом, ∠BAC = ∠BCA, и это важно для дальнейшего построения.
2) Рассмотрим треугольники AFC и CEA:
- Так как AE и CF — биссектрисы, то угол ∠ACF равен половине угла ∠BAC: ∠ACF = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA;
- Таким образом, угол ∠ACF равен углу ∠CEA, так как они оба составляют половину угла ∠BAC;
- Сторона AC — общая сторона для треугольников AFC и CEA;
- Так как угол ∠AFC = угол ∠CEA, а сторона AC общая, то треугольники AFC и CEA равны по второму признаку равенства треугольников;
- Следовательно, углы ∠AFE и ∠CEF равны.
3) Рассмотрим треугольник FBE:
- В треугольнике FBE угол ∠EFB можно выразить как: ∠EFB = 180° — ∠AFE (угол на прямой);
- А угол ∠FEB можно выразить как: ∠FEB = 180° — ∠CEF;
- Поскольку ∠AFE = ∠CEF, то из этого следует, что ∠EFB = ∠FEB;
- Таким образом, угол ∠EFB равен углу ∠FEB;
- Также из этого следует, что угол ∠EFB + угол ∠FEB = 180°, что подтверждает, что оба угла равны;
- В итоге, угол ∠EFB = угол ∠BAC.
4) Для прямых AC и FE и секущей AB:
- Так как угол ∠EFB равен углу ∠BAC, и угол ∠EFB является внешним для треугольника FBE, то по теореме о внешнем угле можно утверждать, что прямые AC и FE параллельны;
- Следовательно, AC || FE.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
