ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства:
1) \( |2x — y| \leq 1 \);
2) \( |2x — y| \leq x + y \);
3) \( |x + y| > x — y \);
4) \( (x — 2y — 16) \leq |x — y| \).

1) \( |2x — y| \leq 1 \);

2) \( |2x — y| \leq x + y \);

3) \( |x + y| > x — y \);

4) \( (x — 2y — 16) \leq |x — y| \).

Для построения графиков неравенств рассмотрим каждое из них с кратким решением и объяснением.

График неравенства \( |2x — y| \leq 1 \) строится путем нахождения границ \( 2x — y = 1 \) и \( 2x — y = -1 \). Это две прямые, между которыми (включая сами прямые) лежат точки, удовлетворяющие неравенству. Область решения — полоса между прямыми \( y = 2x — 1 \) и \( y = 2x + 1 \).

Для неравенства \( |2x — y| \leq x + y \) преобразуем его: \( |2x — y| \leq x + y \). Рассмотрим случаи \( 2x — y \geq 0 \) и \( 2x — y < 0 \), что приводит к системам \( y \leq 2x \) и \( y \geq \frac{x}{3} \), либо \( y > 2x \) и \( y \leq x — 1 \). Область решения — объединение этих условий, что формирует определенную зону на плоскости.

Неравенство \( |x + y| > x — y \) решается путем анализа случаев для модуля. Если \( x + y \geq 0 \), то \( x + y > x — y \), что упрощается до \( y > 0 \). Если \( x + y < 0 \), то \( -(x + y) > x — y \), что дает \( -x — y > x — y \), или \( x < 0 \). Итоговая область: \( y > 0 \) или \( x < 0 \), то есть верхняя полуплоскость и левая полуплоскость.

Для неравенства \( (x — 2y — 16) \leq |x — y| \) рассмотрим \( x — y \geq 0 \) и \( x — y < 0 \). В первом случае \( x — 2y — 16 \leq x — y \), что дает \( y \geq 16 \). Во втором случае \( x — 2y — 16 \leq -(x — y) \), что приводит к \( 2x — y \leq 16 \). Область решения — объединение зон \( y \geq 16 \) при \( x \geq y \) и \( y \leq 2x — 16 \) при \( x < y \).