ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = \sin(5x) \)
\(
F(x) = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C
\)

2) \( f(x) = 2 \cos\left(\frac{x}{4}\right) \)
\(
F(x) = 8 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C
\)

3) \( f(x) = (6x + 1)^{\frac{1}{4}} \)
\(
F(x) = \frac{4}{5} (6x + 1)^{\frac{5}{4}} + C
\)

4) \( f(x) = \sqrt{x — 2} \)
\(
F(x) = \frac{2}{3} (x — 2)^{\frac{3}{2}} + C
\)

5) \( f(x) = e^{-2x} \)
\(
F(x) = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C
\)

6) \( f(x) = 7^{3x} \)
\(
F(x) = \frac{7^{3x}}{3 \ln 7} + C
\)

7) \( f(x) = -9 \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) \)
\(
F(x) = \frac{27}{2} \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C
\)

8) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x)} \)
\(
F(x) = \frac{1}{3} \tan(3x) + C
\)

9) \( f(x) = 8 \sin^2(4x) \)
\(
F(x) = -2 \cot(4x) + C
\)

10) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} \)
\(
F(x) = 2\sqrt{2x — 1} + C
\)

11) \( f(x) = \sqrt{x + 4}, \, x \in (-4; +\infty) \)
\(
F(x) = \frac{2}{3}(x + 4)^{\frac{3}{2}} + C
\)

12) \( f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \, x \in (-\infty; +\infty) \)
\(
F(x) = 2 \ln(3x + 2) + C
\)

13) \( f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \, x \in (-\infty; \infty) \)
\(
F(x) = -\frac{1}{4x — 3} + C
\)

14) \( f(x) = (1 — x)^5, \, x \in (-\infty; 2) \)
\(
F(x) = -\frac{(1 — x)^6}{6} + C
\)

1) Для функции \( f(x) = \sin(5x) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int \sin(5x) \, dx
\]
Используем правило интегрирования тригонометрических функций:
\[
\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C
\]
Подставляем \( k = 5 \):
\[
F(x) = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C
\]

2) Для функции \( f(x) = 2 \cos\left(\frac{x}{4}\right) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int 2 \cos\left(\frac{x}{4}\right) \, dx
\]
Выносим множитель \( 2 \):
\[
F(x) = 2 \int \cos\left(\frac{x}{4}\right) \, dx
\]
Используем правило интегрирования тригонометрических функций:
\[
\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C
\]
Подставляем \( k = \frac{1}{4} \):
\[
F(x) = 2 \cdot 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C = 8 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C
\]

3) Для функции \( f(x) = (6x + 1)^{\frac{1}{4}} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int (6x + 1)^{\frac{1}{4}} \, dx
\]
Используем замену: \( u = 6x + 1, \, du = 6 dx, \, dx = \frac{du}{6} \). Тогда:
\[
F(x) = \int u^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} du
\]
Интегрируем степенную функцию:
\[
\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C
\]
Подставляем \( n = \frac{1}{4} \):
\[
F(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5} (6x + 1)^{\frac{5}{4}} + C
\]

4) Для функции \( f(x) = \sqrt{x — 2} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int (x — 2)^{\frac{1}{2}} dx
\]
Интегрируем степенную функцию:
\[
F(x) = \frac{(x — 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (x — 2)^{\frac{3}{2}} + C
\]

5) Для функции \( f(x) = e^{-2x} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int e^{-2x} dx
\]
Используем правило интегрирования экспоненты:
\[
\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C
\]
Подставляем \( k = -2 \):
\[
F(x) = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C
\]

6) Для функции \( f(x) = 7^{3x} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int 7^{3x} dx
\]
Используем правило интегрирования показательных функций:
\[
\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C
\]
Подставляем \( a = 7, k = 3 \):
\[
F(x) = \frac{7^{3x}}{3 \ln 7} + C
\]

7) Для функции \( f(x) = -9 \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int -9 \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) dx
\]
Выносим множитель \( -9 \):
\[
F(x) = -9 \int \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) dx
\]
Используем правило интегрирования тригонометрических функций:
\[
\int \sin(kx + b) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx + b) + C
\]
Подставляем \( k = \frac{1}{3}, b = -\frac{\pi}{4} \):
\[
F(x) = -9 \cdot -3 \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C = \frac{27}{2} \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C
\]

8) Для функции \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x)} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(3x)} \, dx
\]
Заметим, что \( \frac{1}{\cos^2(3x)} = \sec^2(3x) \). Интеграл от \( \sec^2(kx) \) равен \( \frac{1}{k} \tan(kx) + C \).
Подставляем \( k = 3 \):
\[
F(x) = \frac{1}{3} \tan(3x) + C
\]

9) Для функции \( f(x) = 8 \sin^2(4x) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int 8 \sin^2(4x) \, dx
\]
Используем тригонометрическую идентичность:
\[
\sin^2(kx) = \frac{1 — \cos(2kx)}{2}
\]
Подставляем \( k = 4 \):
\[
F(x) = \int 8 \cdot \frac{1 — \cos(8x)}{2} \, dx = 4 \int (1 — \cos(8x)) \, dx
\]
Разделяем интеграл:
\[
F(x) = 4 \int 1 \, dx — 4 \int \cos(8x) \, dx
\]
Интегрируем:
\[
F(x) = 4x — 4 \cdot \frac{\sin(8x)}{8} + C = 4x — \frac{\sin(8x)}{2} + C
\]

10) Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int (2x — 1)^{-\frac{1}{2}} \, dx
\]
Используем правило интегрирования степенных функций:
\[
\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad n \neq -1
\]
Здесь \( a = 2, b = -1, n = -\frac{1}{2} \):
\[
F(x) = \frac{(2x — 1)^{-\frac{1}{2} + 1}}{2(-\frac{1}{2} + 1)} + C = 2 (2x — 1)^{\frac{1}{2}} + C
\]
Или:
\[
F(x) = 2\sqrt{2x — 1} + C
\]

11) Для функции \( f(x) = \sqrt{x + 4}, \, x \in (-4; +\infty) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int (x + 4)^{\frac{1}{2}} \, dx
\]
Используем правило интегрирования степенных функций:
\[
\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad n \neq -1
\]
Здесь \( a = 1, b = 4, n = \frac{1}{2} \):
\[
F(x) = \frac{(x + 4)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)^{\frac{3}{2}} + C
\]

12) Для функции \( f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \, x \in (-\infty; +\infty) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int \frac{6}{3x + 2} \, dx
\]
Вынесем множитель:
\[
F(x) = 6 \int \frac{1}{3x + 2} \, dx
\]
Интеграл от дробной функции равен логарифму:
\[
F(x) = 6 \cdot \frac{1}{3} \ln|3x + 2| + C = 2 \ln|3x + 2| + C
\]

13) Для функции \( f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \, x \in (-\infty; +\infty) \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int \frac{4}{(4x — 3)^2} \, dx
\]
Запишем функцию как степень:
\[
F(x) = 4 \int (4x — 3)^{-2} \, dx
\]
Используем правило интегрирования степенных функций:
\[
\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad n \neq -1
\]
Здесь \( a = 4, b = -3, n = -2 \):
\[
F(x) = 4 \cdot \frac{(4x — 3)^{-2+1}}{4(-2+1)} + C = -\frac{1}{4x — 3} + C
\]

14) Для функции \( f(x) = (1 — x)^5, \, x \in (-\infty; 2] \):
Первообразная находится как интеграл:
\[
F(x) = \int (1 — x)^5 \, dx
\]
Используем правило интегрирования степенных функций:
\[
F(x) = -\frac{(1 — x)^6}{6} + C
\]