ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти первообразную:

1) \(f(x) = \sin(5x)\):
\(
F(x) = \frac{1}{5} \cdot (-\cos(5x))
\)
\(
F(x) = -\frac{\cos(5x)}{5} + C
\)

2) \(f(x) = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\):
\(
F(x) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right)
\)
\(
F(x) = 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C
\)

3) \(f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3\):
\(
F(x) = \frac{1}{6} \cdot \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{4}
\)
\(
F(x) = \frac{1}{24} \cdot \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 + C
\)

4) \(f(x) = \left(\frac{x}{7} — 2\right)^4\):
\(
F(x) = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 \cdot \frac{1}{5}
\)
\(
F(x) = \frac{7}{5} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 + C
\)

5) \(f(x) = \frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}\):
\(
F(x) = -\frac{1}{2} \cdot e^{-2x} + C
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{2e^{2x}} + C
\)

6) \(f(x) = 7^{3x}\):
\(
F(x) = \frac{7^{3x}}{3 \ln 7} + C;
\)

7) \(f(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right)\):
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right)\right);
\)
\(
F(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C;
\)

8) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}\), \((- \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})\):
\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot \tg 3x = \frac{1}{3} \tg 3x + C;
\)

9) \(f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}\), \((0; \frac{\pi}{4})\):
\(
F(x) = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\ctg(4x));
\)
\(
F(x) = -2 \ctg 4x + C;
\)

10) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}\), \((\frac{1}{2}; +\infty)\):
\(
F(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x — 1)^{\frac{1}{2}} + C;
\)
\(
F(x) = \sqrt{2x — 1} + C;
\)

11) \(f(x) = \sqrt{x + 4}\), \((-4; +\infty)\):
\(
F(x) = \frac{2}{3} \cdot (x + 4)^{\frac{3}{2}} + C;
\)
\(
F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{(x + 4)^3} + C;
\)

12) \(f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right)\):
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{1}{3} \ln(3x + 2) + C;
\)
\(
F(x) = 2 \ln(3x + 2) + C;
\)

13) \(f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \left(-\infty; \frac{3}{4}\right)\):
\(
F(x) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot (4x — 3)^{-1} \cdot (-1);
\)
\(
F(x) = -\frac{1}{4x — 3} = \frac{1}{3 — 4x} + C;
\)

14) \(f(x) = \sqrt{1 — \frac{x}{2}}, \left(-\infty; 2\right)\):
\(
F(x) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot \left(1 — \frac{x}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{3};
\)
\(
F(x) = -\frac{4}{3} \cdot \left(1 — \frac{x}{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C;
\)

1) \(f(x) = \sin(5x)\):
Чтобы найти первообразную функции \(\sin(5x)\), используем формулу:
\(
\int \sin(kx) \, dx = -\frac{\cos(kx)}{k} + C
\)
Здесь \(k = 5\). Тогда:
\(
F(x) = -\frac{\cos(5x)}{5} + C
\)

2) \(f(x) = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\):
Чтобы найти первообразную функции \(2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\), используем формулу:
\(
\int \cos(kx) \, dx = \frac{\sin(kx)}{k} + C
\)
Здесь \(k = \frac{1}{2}\) и коэффициент перед \(\cos\) равен \(2\), поэтому:
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C
\)

3) \(f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3\):
Для нахождения первообразной функции вида \(u^n\), где \(u = 6x + \frac{1}{2}\), используем формулу:
\(
\int u^n \, dx = \frac{u^{n+1}}{(n+1) \cdot u’} + C
\)
Здесь \(u = 6x + \frac{1}{2}\), \(n = 3\), а производная \(u’\) равна \(6\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{\left(6x + \frac{1}{2}\right)^4}{4 \cdot 6} = \frac{\left(6x + \frac{1}{2}\right)^4}{24} + C
\)

4) \(f(x) = \left(\frac{x}{7} — 2\right)^4\):
Используем ту же формулу, что и в задаче 3. Здесь \(u = \frac{x}{7} — 2\), \(n = 4\), а производная \(u’\) равна \(\frac{1}{7}\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{\left(\frac{x}{7} — 2\right)^5}{5 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{7}{5} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 + C
\)

5) \(f(x) = \frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}\):
Для нахождения первообразной экспоненциальной функции \(e^{kx}\), используем формулу:
\(
\int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k} + C
\)
Здесь \(k = -2\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{e^{-2x}}{-2} = -\frac{e^{-2x}}{2} + C
\)

6) \(f(x) = 7^{3x}\):
Для нахождения первообразной функции \(a^{kx}\), используем формулу:
\(
\int a^{kx} \, dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C
\)
Здесь \(a = 7\), \(k = 3\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{7^{3x}}{3 \ln(7)} + C
\)

7) \(f(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right)\):
Используем формулу для первообразной функции \(\sin(kx)\):
\(
\int \sin(kx) \, dx = -\frac{\cos(kx)}{k} + C
\)
Здесь \(k = \frac{1}{3}\) и коэффициент перед \(\sin\) равен \(-\frac{1}{3}\). Тогда:
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C
\)

8) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x)}\), \((- \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})\):
Используем формулу для первообразной функции \(\frac{1}{\cos^2(kx)}\):
\(
\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \, dx = \frac{\tg(kx)}{k} + C
\)
Здесь \(k = 3\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{\tg(3x)}{3} + C
\)

9) \(f(x) = \frac{8}{\sin^2(4x)}\), \((0; \frac{\pi}{4})\):
Используем формулу для первообразной функции \(\frac{1}{\sin^2(kx)}\):
\(
\int \frac{1}{\sin^2(kx)} \, dx = -\frac{\ctg(kx)}{k} + C
\)
Здесь \(k = 4\) и коэффициент перед дробью равен \(8\). Тогда:
\(
F(x) = 8 \cdot \left(-\frac{\ctg(4x)}{4}\right) = -2 \ctg(4x) + C
\)

10) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}\), \((\frac{1}{2}; +\infty)\):
Используем формулу для первообразной функции \((u)^{-1/2}\):
\(
\int u^{-1/2} \, dx = \frac{2u^{1/2}}{u’} + C
\)
Здесь \(u = 2x — 1\), а \(u’ = 2\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{2(2x — 1)^{1/2}}{2} = \sqrt{2x — 1} + C
\)

11) \(f(x) = \sqrt{x + 4}\), \((-4; +\infty)\):
Используем формулу для первообразной функции \((u)^{n}\):
\(
\int u^n \, dx = \frac{u^{n+1}}{(n+1) \cdot u’} + C
\)
Здесь \(u = x + 4\), \(n = \frac{1}{2}\), а \(u’ = 1\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} + C
\)

12) \(f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right)\):
Используем формулу для первообразной функции \(\frac{1}{u}\):
\(
\int \frac{1}{u} \, dx = \ln|u| + C
\)
Здесь \(u = 3x + 2\), а \(u’ = 3\). Тогда:
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{\ln(3x + 2)}{3} = 2 \ln(3x + 2) + C
\)

13) \(f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \left(-\infty; \frac{3}{4}\right)\):
Используем формулу для первообразной функции \(\frac{1}{u^n}\):
\(
\int u^{-n} \, dx = \frac{u^{-n+1}}{(-n+1) \cdot u’} + C
\)
Здесь \(u = 4x — 3\), \(n = 2\), а \(u’ = 4\). Тогда:
\(
F(x) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4(4x — 3)}\right) = -\frac{1}{4x — 3} + C
\)

14) \(f(x) = \sqrt{1 — \frac{x}{2}}, \left(-\infty; 2\right)\):
Используем формулу для первообразной функции \((u)^n\):
\(
\int u^n \, dx = \frac{u^{n+1}}{(n+1) \cdot u’} + C
\)
Здесь \(u = 1 — \frac{x}{2}\), \(n = \frac{1}{2}\), а \(u’ = -\frac{1}{2}\). Тогда:
\(
F(x) = \frac{2}{3} \cdot (1 — \frac{x}{2})^{3/2} \cdot (-1) = -\frac{4}{3} \cdot (1 — \frac{x}{2})^{3/2} + C
\)