ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Доказательства:

1) \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

База: Если \(n = 1\), то
\[
\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = 1
\]

Переход: Если верно для \(n = k\), то для \(n = k+1\):
\[
1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
\]
\[
= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\]

Следовательно, доказано.

2) \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

База: Если \(n = 1\), то
\[
\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = 1
\]

Переход: Если верно для \(n = k\), то для \(n = k+1\):
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3
\]
\[
= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + 4(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}
\]
\[
= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}
\]

Следовательно, доказано.

3) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

База: Если \(n = 1\), то
\[
\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2+1)}{6} = 1
\]

Переход: Если верно для \(n = k\), то для \(n = k+1\):
\[
1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
\]
\[
= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}
\]
\[
= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
\]

Следовательно, доказано.

4) \(1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}\)

База: Если \(n = 1\), то
\[
\frac{1 \cdot (4 \cdot 1^2 — 1)}{3} = 1
\]

Переход: Если верно для \(n = k\), то для \(n = k+1\):
\[
1^2 + 3^2 + \cdots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{k(4k^2-1)}{3} + (2k+1)^2
\]
\[
= \frac{k(4k^2-1) + 3(2k+1)^2}{3} = \frac{(2k+1)(2k^2 + 5k + 3)}{3}
\]
\[
= \frac{(2k+1)(4k^2 — 4k — 3)}{3}
\]

доказать равенство:

1) \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

если \(n = 1\), тогда:
\[
\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1
\]

если \(n = k + 1\), тогда:
\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
\]
\[
= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\]

таким образом:
\[
\frac{n(n+1)}{2}
\]
что и требовалось доказать.

2) \(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)

если \(n = 1\), тогда:
\[
\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2} = (1^{2})^{2} = 1
\]

если \(n = k + 1\), тогда:
\[
1^{3} + 2^{3} + \cdots + k^{3} + (k+1)^{3} = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2} + (k+1)^{3}
\]
\[
= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} + 4(k+1)^{3}
\]
\[
= \frac{(k+1)^{2}(k^{2} + 4k + 4)}{4}
\]
\[
= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}
\]

таким образом:
\[
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}
\]
что и требовалось доказать.

3) \(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

если \(n = 1\), тогда:
\[
\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2+1)}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1
\]

если \(n = k + 1\), тогда:
\[
1^{2} + 2^{2} + \cdots + k^{2} + (k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}
\]
\[
= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^{2}}{6}
\]
\[
= \frac{(k+1)(2k^{2} + k) + 6(k+1)}{6}
\]
\[
= \frac{(k+1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6}
\]
\[
= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
\]

таким образом:
\[
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
что и требовалось доказать.

4) \(1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \cdots + (2n-1)^{2} = \frac{n(4n^{2}-1)}{3}\)

если \(n = 1\), тогда:
\[
\frac{1 \cdot (4 \cdot 1^{2} — 1)}{3} = \frac{4 — 1}{3} = 1
\]

если \(n = k + 1\), тогда:
\[
1^{2} + 3^{2} + \cdots + (2k-1)^{2} + (2k+1)^{2} = \frac{k(4k^{2}-1)}{3} + (2k+1)^{2}
\]
\[
= \frac{k(4k^{2}-1) + 3(2k+1)^{2}}{3}
\]
\[
= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}
\]
\[
= \frac{(2k+1)(2k^{2} — k + 6k + 3)}{3}
\]
\[
= \frac{(2k+1)(2k^{2} + 5k + 3)}{3}
\]

таким образом:
\[
\frac{n(4n^{2}-1)}{3}
\]
что и требовалось доказать.