Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(n\) выполняются следующие равенства:
1. \(
1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2};
\)
2. \(
1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2;
\)
3. \(
1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
\)
4. \(
1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2 — 1)}{3}.
\)
1) \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(
\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1;
\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} =
\)
\(
= \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2};
\)
Что и требовалось доказать.
2) \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(
\left(\frac{1 \cdot (1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1;
\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k + 1)^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k + 1)^3 = \frac{k^2 \cdot (k + 1)^2 + 4 \cdot (k + 1)^3}{4} =
\)
\(
= \frac{(k + 1)^2 \cdot (k^2 + 4k + 4)}{4};
\)
\(
= \frac{(k + 1)^2 \cdot (k + 2)^2}{4} = \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2;
\)
Что и требовалось доказать.
3) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(
1 \cdot (1+1) \cdot (2+1) = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1;
\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{(k+1)(2k^2 + k)}{6} +
\)
\(
+ \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6};
\)
\(
= \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
\)
Что и требовалось доказать.
4) \(1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n — 1)^2 = \frac{n(4n^2 — 1)}{3}\);
Если \(n = 1\), тогда:
\(
1 \cdot (4 \cdot 1^2 — 1) = \frac{4 — 1}{3} = 1;
\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
1^2 + 3^2 + \dots + (2k — 1)^2 + (2k + 1)^2 = \frac{k(4k^2 — 1)}{3} + (2k + 1)^2 =
\)
\(
= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + \frac{3(2k+1)^2}{3};
\)
\(
= \frac{(2k+1)(2k^2 — k + 6k + 3)}{3} = \frac{(2k+1)(2k^2 + 5k + 3)}{3} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3} = \frac{(2n-1)n(2n+1)}{3} =
\)
\(
= \frac{n(4n^2 — 1)}{3};
\)
Что и требовалось доказать.
1) Доказываем по индукции:
База (\(n = 1\)):
\(
\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1
\)
Переход (\(n = k + 1\)):
\(
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
\)
\(
= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\)
Таким образом:
\(
\frac{n(n+1)}{2}
\)
что и требовалось доказать.
2) Доказываем по индукции:
База (\(n = 1\)):
\(
\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2} = (1^{2})^{2} = 1
\)
Переход (\(n = k + 1\)):
\(
1^{3} + 2^{3} + \cdots + k^{3} + (k+1)^{3} = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2} + (k+1)^{3}
\)
\(
= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} + 4(k+1)^{3}
\)
\(
= \frac{(k+1)^{2}(k^{2} + 4k + 4)}{4}
\)
\(
= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}
\)
Таким образом:
\(
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}
\)
что и требовалось доказать.
3) Доказываем по индукции:
База (\(n = 1\)):
\(
\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2+1)}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1
\)
Переход (\(n = k + 1\)):
\(
1^{2} + 2^{2} + \cdots + k^{2} + (k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}
\)
\(
= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^{2}}{6}
\)
\(
= \frac{(k+1)(2k^{2} + k) + 6(k+1)}{6}
\)
\(
= \frac{(k+1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6}
\)
\(
= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
\)
Таким образом:
\(
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\)
что и требовалось доказать.
4) Доказываем по индукции:
База (\(n = 1\)):
\(
\frac{1 \cdot (4 \cdot 1^{2} — 1)}{3} = \frac{4 — 1}{3} = 1
\)
Переход (\(n = k + 1\)):
\(
1^{2} + 3^{2} + \cdots + (2k-1)^{2} + (2k+1)^{2} = \frac{k(4k^{2}-1)}{3} + (2k+1)^{2}
\)
\(
= \frac{k(4k^{2}-1) + 3(2k+1)^{2}}{3}
\)
\(
= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}
\)
\(
= \frac{(2k+1)(2k^{2} — k + 6k + 3)}{3}
\)
\(
= \frac{(2k+1)(2k^{2} + 5k + 3)}{3}
\)
Таким образом:
\(
\frac{n(4n^{2}-1)}{3}
\)
что и требовалось доказать.