ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Опишите, какое множество называют упорядоченным.
2. Что называют перестановкой конечного множества?
3. Как называют и обозначают произведение первых n натуральных чисел?
4. По какой формуле можно вычислить количество перестановок n-элементного множества?
5. Что называют размещением из n элементов по k элементов?
6. По какой формуле можно вычислить количество размещений из n-элементного множества по k элементов?

1. Упорядоченным множеством называют набор элементов, в котором определены порядковые отношения между всеми элементами;
2. Перестановкой конечного множества \( M \) называют любое упорядоченное множество, которое образовано из всех элементов данного множества \( M \);
3. Произведение первых \( n \) натуральных чисел называют факториалом и обозначают как: \( n! \);
4. Количество перестановок из \( n \): \( P_n = n! \);
5. Любое \( k \)-элементное упорядоченное подмножество, взятое из данного \( n \)-элементного множества, называют размещением из \( n \) элементов по \( k \) элементов;
6. Количество размещений из \( n \) по \( k \): \( A_k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

1. Упорядоченным множеством называют набор элементов, в котором определены порядковые отношения между всеми элементами. Это означает, что для любых двух элементов множества можно сказать, какой из них больше, меньше или равен другому. Например, множество чисел, упорядоченных по возрастанию, является упорядоченным множеством.

2. Перестановкой конечного множества \( m \) называют любое упорядоченное множество, которое образовано из всех элементов данного множества \( m \). Если множество \( m \) состоит из \( n \) элементов, то перестановка включает все элементы \( m \), расположенные в определённом порядке. Например, для множества \( m = \{1, 2, 3\} \) возможными перестановками будут \( \{1, 2, 3\}, \{1, 3, 2\}, \{2, 1, 3\}, \{2, 3, 1\}, \{3, 1, 2\}, \{3, 2, 1\} \).

3. Произведение первых \( n \) натуральных чисел называют факториалом и обозначают как:
\(
n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
\)
где \( n \) — это целое положительное число. Например:
\(
5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120
\)
Факториал используется для вычисления количества перестановок и размещений.

4. Количество перестановок из \( n \) элементов вычисляется как:
\(
p_n = n!
\)
Это означает, что если множество содержит \( n \) элементов, то количество различных способов упорядочить эти элементы равно факториалу числа \( n \). Например, если \( n = 4 \), то количество перестановок:
\(
p_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24
\)

5. Любое \( k \)-элементное упорядоченное подмножество, взятое из данного \( n \)-элементного множества, называют размещением из \( n \) элементов по \( k \) элементов. Размещение учитывает порядок элементов, но в отличие от перестановки, оно включает только \( k \) элементов из \( n \). Например, для множества \( \{1, 2, 3\} \) размещение из двух элементов может быть \( \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 1\}, \{2, 3\}, \{3, 1\}, \{3, 2\} \).

6. Количество размещений из \( n \) элементов по \( k \) элементов вычисляется по формуле:
\(
a_k = \frac{n!}{(n-k)!}
\)
где \( n \) — количество элементов в исходном множестве, а \( k \) — количество элементов в размещении. Например, если \( n = 5 \) и \( k = 3 \), то количество размещений:
\(
a_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60
\)
Это означает, что существует 60 различных способов выбрать и упорядочить 3 элемента из множества, содержащего 5 элементов.