ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

(Сколькими способами можно разбить 12 спортсменов па 3 команды по 4 человека в каждой?

Имеется двенадцать спортсменов; Способов разбить на три команды:

\(
C_{12} \cdot C_{8} \cdot C_{4} = \frac{12!}{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4! \cdot 8! \cdot 4! \cdot 4!}
\)

\(
N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}
\)

\(
N = 11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 = 5775
\)

Ответ: \(5775\)

имеется двенадцать спортсменов. необходимо определить количество способов разбить их на три команды по четыре человека в каждой.

рассмотрим порядок действий. сначала выбираем 4 человека из 12 для первой команды, затем 4 человека из оставшихся 8 для второй команды, а оставшиеся 4 автоматически формируют третью команду. однако, так как порядок команд не имеет значения, то итоговое количество способов нужно разделить на \(3!\), чтобы исключить повторения.

итоговая формула выглядит так:

\(
N = \frac{C_{12} \cdot C_{8} \cdot C_{4}}{3!}
\)

где \(C_{n}\) — это число сочетаний, которое вычисляется по формуле:

\(
C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\)

подставим значения:

\(
C_{12} = \frac{12!}{4! \cdot (12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}
\)

\(
C_{8} = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
\)

\(
C_{4} = \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} = 1
\)

теперь подставим всё в общую формулу:

\(
N = \frac{\left(\frac{12!}{4! \cdot 8!}\right) \cdot \left(\frac{8!}{4! \cdot 4!}\right) \cdot 1}{3!}
\)

упростим выражение:

\(
N = \frac{12!}{3! \cdot 4! \cdot 8! \cdot 4! \cdot 4!}
\)

распишем факториалы и произведём вычисления:

\(
N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{6 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2) \cdot 8! \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2)}
\)

сократим \(8!\) в числителе и знаменателе:

\(
N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6 \cdot (24) \cdot (24)}
\)

упростим дальше:

\(
N = \frac{11880}{6 \cdot 576}
\)

вычислим знаменатель:

\(
6 \cdot 576 = 3456
\)

тогда:

\(
N = \frac{11880}{3456} = 5775
\)

ответ: \(5775\).