Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.27 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Доказать тождество:
1) \((a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a^2 + ab + ab + b^2) = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\);
2) \((a — b)^3 = (a — b)(a — b)^2 = (a — b)(a — b)(a — b) = (a — b)(a^2 — ab — ab + b^2) = (a — b)(a^2 — 2ab + b^2) = a^3 — 2a^2b + ab^2 — a^2b + 2ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).
доказательство:
1) докажем тождество \((a + b)^3\).
раскроем куб суммы:
\((a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2\)
распишем \((a + b)^2\):
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b)\)
подставим:
\((a + b)^3 = (a + b)((a + b)(a + b)) = (a + b)(a + b)(a + b)\)
раскроем первые две скобки:
\((a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
подставим результат:
\((a + b)^3 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\)
раскроем оставшиеся скобки:
\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)\)
распишем каждое слагаемое:
\(a(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2\)
\(b(a^2 + 2ab + b^2) = a^2b + 2ab^2 + b^3\)
сложим:
\(a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
итак, доказано, что:
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
2) докажем тождество \((a — b)^3\).
раскроем куб разности:
\((a — b)^3 = (a — b)(a — b)^2\)
распишем \((a — b)^2\):
\((a — b)^2 = (a — b)(a — b)\)
подставим:
\((a — b)^3 = (a — b)((a — b)(a — b)) = (a — b)(a — b)(a — b)\)
раскроем первые две скобки:
\((a — b)(a — b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
подставим результат:
\((a — b)^3 = (a — b)(a^2 — 2ab + b^2)\)
раскроем оставшиеся скобки:
\((a — b)(a^2 — 2ab + b^2) = a(a^2 — 2ab + b^2) — b(a^2 — 2ab + b^2)\)
распишем каждое слагаемое:
\(a(a^2 — 2ab + b^2) = a^3 — 2a^2b + ab^2\)
\(-b(a^2 — 2ab + b^2) = -a^2b + 2ab^2 — b^3\)
сложим:
\(a^3 — 2a^2b + ab^2 — a^2b + 2ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)
итак, доказано, что:
\((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)
Повторение курса алгебры
