ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.27 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите следующие тождества:

1. \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\);

2. \((a-b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).

Доказать тождество:

1) \((a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a + b)(a + b) =\)
\(= (a + b)(a^2 + ab + ab + b^2) = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) =\)
\(= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\);

2) \((a — b)^3 = (a — b)(a — b)^2 = (a — b)(a — b)(a — b) = \)
\(= (a — b)(a^2 — ab — ab + b^2) = (a — b)(a^2 — 2ab + b^2) =\).
\(= a^3 — 2a^2b + ab^2 — a^2b + 2ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).

доказательство:

1) докажем тождество \((a + b)^3\).

раскроем куб суммы:
\((a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2\)

распишем \((a + b)^2\):
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b)\)
подставим:
\((a + b)^3 = (a + b)((a + b)(a + b)) = (a + b)(a + b)(a + b)\)

раскроем первые две скобки:
\((a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
подставим результат:
\((a + b)^3 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\)

раскроем оставшиеся скобки:
\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)\)

распишем каждое слагаемое:
\(a(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2\)
\(b(a^2 + 2ab + b^2) = a^2b + 2ab^2 + b^3\)

сложим:
\(a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

итак, доказано, что:
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

2) докажем тождество \((a — b)^3\).

раскроем куб разности:
\((a — b)^3 = (a — b)(a — b)^2\)

распишем \((a — b)^2\):
\((a — b)^2 = (a — b)(a — b)\)
подставим:
\((a — b)^3 = (a — b)((a — b)(a — b)) = (a — b)(a — b)(a — b)\)

раскроем первые две скобки:
\((a — b)(a — b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
подставим результат:
\((a — b)^3 = (a — b)(a^2 — 2ab + b^2)\)

раскроем оставшиеся скобки:
\((a — b)(a^2 — 2ab + b^2) = a(a^2 — 2ab + b^2) — b(a^2 — 2ab + b^2)\)

распишем каждое слагаемое:
\(a(a^2 — 2ab + b^2) = a^3 — 2a^2b + ab^2\)
\(-b(a^2 — 2ab + b^2) = -a^2b + 2ab^2 — b^3\)

сложим:
\(a^3 — 2a^2b + ab^2 — a^2b + 2ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)

итак, доказано, что:
\((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)