Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Для всех x?R и n?N докажите неравенство (1+x)^n+(1-x)^n?2.
Доказать неравенство:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n \geq 2;\)
1) Если \( n = 2k \), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n,\)
\((1 — x)^n = 1 — C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} — x^n,\)
\(S = 2 \cdot ( 1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} ) \geq 2;\)
2) Если \( n = 2k + 1 \), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n,\)
\((1 — x)^n = 1 — C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots — C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n;\)
\(S = 2 \cdot ( 1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + x^n ) \geq 2;\)
Что и требовалось доказать.
доказать неравенство:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n \geq 2\)
если \(n = 2k\), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)
\((1 — x)^n = 1 — C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} — x^n\)
при сложении:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + C_3 \cdot x^3 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1}\right)\)
так как все члены \(C_2 \cdot x^2, C_3 \cdot x^3, \ldots, C_{n-1} \cdot x^{n-1}\) неотрицательны, то:
\(S = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1}\right) \geq 2\)
если \(n = 2k + 1\), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)
\((1 — x)^n = 1 — C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots — C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)
при сложении:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + C_4 \cdot x^4 + \cdots + x^n\right)\)
так как все члены \(C_2 \cdot x^2, C_4 \cdot x^4, \ldots, x^n\) неотрицательны, то:
\(S = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + x^n\right) \geq 2\)
что и требовалось доказать.
Повторение курса алгебры
