ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для всех \( x \in \mathbb{R} \) и \( n \in \mathbb{N} \) докажите неравенство

\(
(1+x)^n + (1-x)^n \geq 2.
\)

Доказать неравенство:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n \geq 2;\)

1) Если \( n = 2k \), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n,\)
\((1 — x)^n = 1 — C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} — x^n,\)
\(S = 2 \cdot ( 1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} ) \geq 2;\)

2) Если \( n = 2k + 1 \), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n,\)
\((1 — x)^n = 1 — C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots — C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n;\)
\(S = 2 \cdot ( 1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + x^n ) \geq 2;\)

Что и требовалось доказать.

доказать неравенство:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n \geq 2\)

если \(n = 2k\), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)
\((1 — x)^n = 1 — C_n \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} — x^n\)

при сложении:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + C_3 \cdot x^3 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1}\right)\)

так как все члены \(C_2 \cdot x^2, C_3 \cdot x^3, \ldots, C_{n-1} \cdot x^{n-1}\) неотрицательны, то:
\(S = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1}\right) \geq 2\)

если \(n = 2k + 1\), тогда:
\((1 + x)^n = 1 + C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)
\((1 — x)^n = 1 — C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots — C_{n-1} \cdot x^{n-1} + x^n\)

при сложении:
\((1 + x)^n + (1 — x)^n = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + C_4 \cdot x^4 + \cdots + x^n\right)\)

так как все члены \(C_2 \cdot x^2, C_4 \cdot x^4, \ldots, x^n\) неотрицательны, то:
\(S = 2 \cdot \left(1 + C_2 \cdot x^2 + \cdots + x^n\right) \geq 2\)

что и требовалось доказать.