Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решить неравенство:
1) \(|x^2 + 3x| < x + 4;\)
Первое неравенство:
\(x^2 + 3x < x + 4,\)
\(x^2 + 2x — 4 < 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20,\) тогда:
\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5};
\)
\(
-1 — \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5};
\)
Второе неравенство:
\(x^2 + 3x > -x — 4,\)
\(x^2 + 4x + 4 > 0;\)
\(
(x + 2)^2 > 0, \quad x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;
\)
Ответ: \((-1 — \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})\).
2) \(|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2;\)
Первое неравенство:
\(x^2 + 3x \geq 2 — x^2,\)
\(2x^2 + 3x — 2 \geq 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)
\(
(x + 2) (x — \frac{1}{2}) \geq 0, \quad x \leq -2, \quad x \geq \frac{1}{2};
\)
Второе неравенство:
\(x^2 + 3x \leq x^2 — 2,\)
\(x \leq -\frac{2}{3};\)
Ответ: \((-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)\).
1) Рассмотрим неравенство:
\(
|x^2 + 3x| < x + 4
\)
Разделим его на два случая.
Первый случай:
\(
x^2 + 3x < x + 4
\)
Перепишем неравенство:
\(
x^2 + 3x — x — 4 < 0 — x^2 + 2x — 4 < 0
\)
Найдём дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20
\)
Корни уравнения:
\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}
\)
Таким образом, неравенство \(x^2 + 2x — 4 < 0\) имеет решение:
\(
-1 — \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5}
\)
Второй случай:
\(
x^2 + 3x > — (x + 4)
\)
Перепишем неравенство:
\(
x^2 + 3x + x + 4 > 0 — x^2 + 4x + 4 > 0
\)
Это можно записать как:
\(
(x + 2)^2 > 0
\)
Неравенство выполняется, когда \(x + 2 \neq 0\), то есть \(x \neq -2\).
Таким образом, итоговый ответ для первого неравенства:
\(
(-1 — \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})
\)
2) Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(
|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2
\)
Разделим его на два случая.
Первый случай:
\(
x^2 + 3x \geq 2 — x^2
\)
Перепишем неравенство:
\(
2x^2 + 3x — 2 \geq 0
\)
Найдём дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)
Неравенство \( (x + 2)(x — \frac{1}{2}) \geq 0 \) выполняется при:
\(
x \leq -2, \quad x \geq \frac{1}{2}
\)
Второй случай:
\(
x^2 + 3x \leq -(2 — x^2)
\)
Перепишем неравенство:
\(
x^2 + 3x + x^2 + 2 \leq 0 — 2x^2 + 3x + 2 \leq 0
\)
Найдём дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7
\)
Так как дискриминант отрицательный, то неравенство \(2x^2 + 3x + 2 \leq 0\) не имеет действительных корней и всегда отрицательно.
Таким образом, итоговое решение для второго неравенства:
\(
(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)
\)