ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1) \((x + 10) \cdot \sqrt{x — 4} \leq 0\);
\(x + 10 \leq 0, \, x — 4 \geq 0\);
\(x \leq -10, \, x \geq 4\);
Ответ: \(4.\)

2) \((x + 1) \cdot \sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{x + 7} \leq 0\);
\(x + 1 \leq 0, \, x + 4 \geq 0, \, x + 7 \geq 0\);
\(x \leq -1, \, x \geq -4, \, x \geq -7\);
Ответ: \([-4; -1].\)

решим неравенство:

1) \((x + 10) \cdot \sqrt{x — 4} \leq 0\)

определим область допустимых значений (ОДЗ). подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[
x — 4 \geq 0 \ — x \geq 4
\]

также выражение \((x + 10)\) должно быть определено, но оно определено для всех \(x\).

разделим неравенство на два множителя:

1. \(x + 10 \leq 0 \ — x \leq -10\),
2. \(\sqrt{x — 4} \geq 0\), что выполняется при \(x \geq 4\) (учтено в ОДЗ).

объединим условия:

\[
x \leq -10 \quad \text{и} \quad x \geq 4
\]

эти условия несовместимы, так как \(x\) не может одновременно быть меньше или равно \(-10\) и больше или равно \(4\). следовательно, решение нужно искать на пересечении знаков функции.

анализируем знаки:

— при \(x < -10\): \(x + 10 < 0\), корень не определен;
— при \(x = -10\): функция равна \(0\);
— при \(4 \leq x < -10\): область противоречива;
— при \(x = 4\): функция равна \(0\).

ответ: \(x = 4\).

—

2) \((x + 1) \cdot \sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{x + 7} \leq 0\)

определим область допустимых значений (ОДЗ). подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

1. \(x + 4 \geq 0 \ — x \geq -4\),
2. \(x + 7 \geq 0 \ — x \geq -7\).

объединяя эти условия, получаем:

\[
x \geq -4
\]

также \(x + 1\) должно быть определено, но это выполнено для всех \(x\).

разделим неравенство на три множителя:

1. \(x + 1 \leq 0 \ — x \leq -1\),
2. \(\sqrt{x + 4} \geq 0\), выполняется при \(x \geq -4\),
3. \(\sqrt{x + 7} \geq 0\), выполняется при \(x \geq -7\).

объединим условия:

\[
-7 \leq x \leq -1
\]

анализируем знаки:

— при \(x < -7\): подкоренное выражение не определено;
— при \(x = -7\): функция равна \(0\);
— при \(-7 < x < -4\): оба корня положительны, знак определяется множителем \(x + 1 < 0\);
— при \(x = -4\): функция равна \(0\);
— при \(-4 < x < -1\): все множители положительны, знак положителен;
— при \(x = -1\): функция равна \(0\).

ответ: отрезок решения находится в пределах:

\[
[-4; -1]
\]