ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно математическое ожидание количества выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Бросают три кубика:
\( p = 6, \, q = ?, \, n = 4 \);

1) Вероятности событий:

\(
P(0) = C(3, 0) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^0 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}
\)

\(
P(1) = C(3, 1) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{75}{216}
\)

\(
P(2) = C(3, 2) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^1 = \frac{15}{216}
\)

\(
P(3) = C(3, 3) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 = \frac{1}{216}
\)

2) Найдем математическое ожидание:

\(
M(x) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{30}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216}
\)

\(
M(x) = \frac{0 + 75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = 0.5
\)

Ответ: \( 0.5 \).

Бросают три кубика:
\( p = 6, \, q = ?, \, n = 4 \).

1) Вероятности событий:

Для вычисления вероятностей используем формулу биномиального распределения:
\(
P(k) = C(n, k) \cdot \left( \frac{1}{p} \right)^k \cdot \left( 1 — \frac{1}{p} \right)^{n-k},
\)
где \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \).

Рассмотрим каждое событие:

\(
P(0) = C(3, 0) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^0 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3
\)

\(
P(0) = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}
\)

\(
P(1) = C(3, 1) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2
\)

\(
P(1) = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216}
\)

\(
P(2) = C(3, 2) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^1
\)

\(
P(2) = 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \frac{5}{6} = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216}
\)

\(
P(3) = C(3, 3) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3
\)

\(
P(3) = 1 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 = 1 \cdot \frac{1}{216} = \frac{1}{216}
\)

2) Найдем математическое ожидание:

Математическое ожидание вычисляется по формуле:
\(
M(x) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(k).
\)

Подставим значения:
\(
M(x) = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3)
\)

\(
M(x) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216}
\)

\(
M(x) = 0 + \frac{75}{216} + \frac{30}{216} + \frac{3}{216}
\)

\(
M(x) = \frac{75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = 0.5
\)

Ответ: \( 0.5 \).