ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения

\(
E = 6^{\left(\frac{6}{\log_{2} 6} + \frac{1}{3} \log_{6} 27\right)} — 12 \log_{7} \left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}}
\)

\( 6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}(6)} + \frac{1}{3} \log_6(27)} = 6^{\frac{3 \cdot \log(2)}{\log(6)}} \cdot 6^{\log_6(3)} = 2^3 \cdot 3 = 24. \)

\( 12 \log_7\left(\left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}}\right) = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3. \)

Итог:

\( 24 — 3 = 21. \)

Ответ: \( 21. \)

Дано:

\( 6^{\left(\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}(6)} + \frac{1}{3} \log_6(27)\right)} — 12 \log_7\left(\left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}}\right) \).

Рассмотрим первую часть:

\(
\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}(6)}.
\)

Используем формулу перехода основания:

\(
\log_{\sqrt{2}}(6) = \frac{\log(6)}{\log(\sqrt{2})} = \frac{\log(6)}{\frac{1}{2} \log(2)} = \frac{2 \log(6)}{\log(2)}.
\)

Подставляем обратно:

\(
\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}(6)} = \frac{6 \cdot \log(2)}{2 \cdot \log(6)} = \frac{3 \cdot \log(2)}{\log(6)}.
\)

Теперь упростим вторую часть показателя степени:

\(
\frac{1}{3} \log_6(27).
\)

Раскрываем логарифм:

\(
\log_6(27) = \log_6(3^3) = 3 \cdot \log_6(3).
\)

Следовательно:

\(
\frac{1}{3} \log_6(27) = \log_6(3).
\)

Показатель степени у \(6\) становится:

\(
\frac{3 \cdot \log(2)}{\log(6)} + \log_6(3).
\)

Используем свойства степеней и логарифмов. Первую часть \(6^{\frac{3 \cdot \log(2)}{\log(6)}}\) можно упростить как:

\(
6^{\frac{\log(2^3)}{\log(6)}} = 2^3 = 8.
\)

Теперь подставляем это обратно в выражение:

\(
8 \cdot 3 — 12 \cdot 1 = 24 — 12 = 21.
\)

Ответ: \(21.\)