ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.35 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения

\(
\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 — 4\sqrt{3})
\)

является целым числом.

Пусть \( a = 7 + 4\sqrt{3} \), \( b = 7 — 4\sqrt{3} \). Тогда \( a \cdot b = 1 \), то есть \( b = \frac{1}{a} \).

Логарифм:
\(
\log_a(b) = \log_a\left(\frac{1}{a}\right) = \log_a(1) — \log_a(a).
\)
Так как \( \log_a(1) = 0 \) и \( \log_a(a) = 1 \), то:
\(
\log_a(b) = 0 — 1 = -1.
\)

Ответ: значение выражения равно \( -1 \), что является целым числом.

Доказательство, что значение выражения \( \log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3}) \) является целым числом:

Шаг 1: Обозначим выражение
Обозначим:
\( a = 7 + 4\sqrt{3} \), \( b = 7 — 4\sqrt{3} \).
Тогда наше выражение принимает вид:
\( \log_a(b) \).

Шаг 2: Проверим связь между \( a \) и \( b \)
Заметим, что \( a \) и \( b \) связаны следующим образом:
\(
a \cdot b = (7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3}) = 7^2 — (4\sqrt{3})^2 = 49 — 48 = 1.
\)
То есть:
\(
a \cdot b = 1.
\)

Шаг 3: Представим \( b \) через \( a^{-1} \)
Из равенства \( a \cdot b = 1 \) следует, что:
\(
b = \frac{1}{a}.
\)

Шаг 4: Вычислим логарифм
Подставим \( b = \frac{1}{a} \) в выражение \( \log_a(b) \):
\(
\log_a(b) = \log_a\left(\frac{1}{a}\right).
\)
Используя свойства логарифмов, получаем:
\(
\log_a\left(\frac{1}{a}\right) = \log_a(1) — \log_a(a).
\)
Из свойства логарифма:
\(
\log_a(1) = 0, \quad \log_a(a) = 1.
\)
Следовательно:
\(
\log_a(b) = 0 — 1 = -1.
\)

Таким образом, значение выражения \( \log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3}) \) равно \( -1 \), что является целым числом.
Что и требовалось доказать.