ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.38 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \lg (\sin 1^\circ) \cdot \lg (\sin 2^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\sin 90^\circ) \)
Среди множителей есть \( \lg (\sin 90^\circ) = \lg (1) = 0 \), поэтому результат: \( 0 \).

2) \( \lg (\tan 10^\circ) \cdot \lg (\tan 15^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\tan 80^\circ) \)
Среди множителей есть \( \lg (\tan 45^\circ) = \lg (1) = 0 \), поэтому результат: \( 0 \).

3) \( \lg (\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 60^\circ) \)
Пары вида \( \tan x^\circ \cdot \tan (90^\circ — x^\circ) = 1 \). Произведение равно \( 1 \), значит \( \lg (1) = 0 \).

4) \( \lg (\tan 1^\circ) + \lg (\tan 2^\circ) + \ldots + \lg (\tan 89^\circ) \)
Сумма преобразуется в \( \lg (\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 89^\circ) \).
Пары вида \( \tan x^\circ \cdot \tan (90^\circ — x^\circ) = 1 \), значит произведение равно \( 1 \), и \( \lg (1) = 0 \).

Ответ: во всех случаях результат равен \( 0 \).

1) \( \lg (\sin 1^\circ) \cdot \lg (\sin 2^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\sin 90^\circ) \)

В этом произведении мы имеем множитель \( \lg (\sin 90^\circ) \). Поскольку \( \sin 90^\circ = 1 \), то:

\[
\lg (\sin 90^\circ) = \lg (1) = 0
\]

Таким образом, любое произведение, в котором есть множитель равный нулю, также равно нулю. Следовательно, результат:

\[
\lg (\sin 1^\circ) \cdot \lg (\sin 2^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\sin 90^\circ) = 0
\]

2) \( \lg (\tan 10^\circ) \cdot \lg (\tan 15^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\tan 80^\circ) \)

Здесь мы также находим множитель \( \lg (\tan 45^\circ) \). Поскольку \( \tan 45^\circ = 1 \), то:

\[
\lg (\tan 45^\circ) = \lg (1) = 0
\]

Аналогично предыдущему случаю, наличие нуля в произведении приводит к тому, что весь результат равен нулю. Таким образом, результат:

\[
\lg (\tan 10^\circ) \cdot \lg (\tan 15^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg (\tan 80^\circ) = 0
\]

3) \( \lg (\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 60^\circ) \)

В этом случае мы можем использовать свойство тангенса:

\[
\tan x^\circ \cdot \tan (90^\circ — x^\circ) = 1
\]

Рассмотрим пары:

— \( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = 1 \)
— \( \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ = 1 \)
— \( \tan 34^\circ \cdot \tan 56^\circ = 1 \)
— \( \tan 36^\circ \cdot \tan 54^\circ = 1 \)
— \( \tan 38^\circ \cdot \tan 52^\circ = 1 \)
— \( \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ = 1 \)
— \( \tan 42^\circ \cdot \tan 48^\circ = 1 \)
— \( \tan 44^\circ = 1\)

Таким образом, все пары дают произведение равное \( 1\):

\[
\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdots \tan 60^\circ = 1
\]

Следовательно,

\[
\lg (1) = 0
\]

Таким образом, результат равен:

\[
\lg (\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdots \tan 60^\circ) = 0
\]

4) \( \lg (\tan 1^\circ) + \lg (\tan 2^\circ) + \ldots + \lg (\tan 89^\circ) \)

Сумма логарифмов может быть преобразована в логарифм произведения:

\[
\lg (\tan 1^\circ) + \lg (\tan 2^\circ) + … + \lg (\tan 89^\circ) = \lg (\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdots \tan 89^\circ)
\]

Как и в предыдущем пункте, мы можем использовать свойство тангенса:

\[
\tan x^\circ \cdot \tan (90^\circ — x^\circ) = 1
\]

Таким образом, пары:

— \( \tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ = 1\)
— \( \tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ = 1\)
— …
— \( \tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ = 1\)
— \( \tan 45^\circ = 1\)

Все пары дают произведение равное \(1\):

\[
\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ …\cdot\tan 89^\circ = 1
\]

Следовательно,

\[
\lg (1) = 0
\]

Таким образом, результат равен:

\[
\lg (\tan 1^\circ + … + \tan 89^\circ) = 0
\]

Общий вывод

Во всех четырех случаях результат равен \(0\).