ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = \lg(x) \)
Область определения:
\( \lg(x) \geq 0, \, 0 < x < 1, \, x > 1 \);
Ответ: \( (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( f(x) = \log_{5}(10 — x) \)
Область определения:
\( \log_{5}(10 — x) \geq 0, \, 10 — x > 0; \, x < 10, \, 10 — x \neq 1, \, x \neq 9 \);
Ответ: \( (-\infty; 9) \cup (9; 10) \).

3) \( f(x) = \log_{2}(\cos(x)) \)
Область определения:
\( \cos(x) > 0, \, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Ответ: \( D(x) = (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \).

4) \( f(x) = \log_{3}(\tan(x)) \)
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \);
Ответ: \( D(x) = (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \).

Хорошо, вот решение с использованием круглых скобок в формулах LaTeX:

1) f(x) = \lg(x):
Область определения логарифмической функции определяется условием:
\[
\lg(x) \geq 0, \, x > 0
\]
то есть, x должно быть положительным, и дополнительно выполняется условие $x \neq 1$, так как при $x = 1$ логарифм равен нулю.
Итоговая область определения:
\[
(0; 1) \cup (1; +\infty)
\]

2) f(x) = \log_{5}(10 — x):
Область определения логарифмической функции определяется условием:
\[
\log_{5}(10 — x) \geq 0, \, 10 — x > 0
\]
то есть, $10 — x > 0$, что приводит к $x < 10$.
Также $10 — x \neq 1$, так как логарифм не определён при значении выражения равном единице. Это даёт $x \neq 9$.
Итоговая область определения:
\[
(-\infty; 9) \cup (9; 10)
\]

3) $f(x) = \log_{2}(\cos(x))$:
Область определения логарифмической функции определяется условием:
\[
\cos(x) > 0
\]
Косинус положителен на интервалах:
\[
(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), \, n \in \mathbb{Z}
\]
Итоговая область определения:
\[
D(x) = (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), \, n \in \mathbb{Z}
\]

4) $f(x) = \log_{3}(\tan(x))$:
Область определения логарифмической функции определяется условием:
\[
\tan(x) > 0
\]
Тангенс определён везде, кроме точек разрыва, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
Итоговая область определения:
\[
D(x) = (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), \, n \in \mathbb{Z}
\]