ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.37 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}} + \frac{\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}} \cdot \sqrt{a — 2\sqrt{a — 1}}}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}}
\)

\(
= \frac{2(a + 2\sqrt{a — 1})}{a — 2\sqrt{a — 1}} + \frac{\sqrt{a^2 — 4(a — 1)}}{2} + \frac{\sqrt{a^2 — 4(a — 1)}}{4}
\)

\(
= \frac{\sqrt{(a — 2)^2}}{a — 2\sqrt{a — 1}} + \frac{\sqrt{a^2 — 4a + 4}}{2(a — 2)} + \frac{\sqrt{a^2 — 4a + 4}}{4}
\)

\(
= |a — 2| \cdot |a — 2|.
\)

Если \( a > 2 \), то \( 2 \);
Если \( 1 < a < 2 \), то \( -2 \).

Распишем подробнее шаги упрощения выражения.

Начальное выражение:

\(
\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}} + \frac{\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}} \cdot \sqrt{a — 2\sqrt{a — 1}}}{\sqrt{(a^2 — 4a + 4)}}
\)

Сначала упростим второе слагаемое. Заметим, что:

\(
\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}} \cdot \sqrt{a — 2\sqrt{a — 1}} = \sqrt{(a + 2\sqrt{a — 1}) \cdot (a — 2\sqrt{a — 1})}
\)

Раскрывая произведение под корнем, получаем:

\(
(a + 2\sqrt{a — 1}) \cdot (a — 2\sqrt{a — 1}) = a^2 — (2\sqrt{a — 1})^2 = a^2 — 4(a — 1)
\)

Тогда второе слагаемое становится:

\(
\frac{\sqrt{(a^2 — 4(a — 1))}}{\sqrt{(a^2 — 4a + 4)}}
\)

Заметим, что \( a^2 — 4(a — 1) = a^2 — 4a + 4 \), то есть числитель и знаменатель равны. Таким образом, второе слагаемое равно \( 1 \).

Теперь вернемся к первому слагаемому. Преобразуем его:

\(
\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}}
\)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\(
\frac{(a — 2\sqrt{a — 1})(a — 2\sqrt{a — 1})}{(a + 2\sqrt{a — 1})(a — 2\sqrt{a — 1})}
\)

Это даст:

\(
\frac{(a — 2)^2}{a^2 — (2\sqrt{a — 1})^2} = \frac{(a — 2)^2}{a^2 — 4(a — 1)}
\)

Так как \( a^2 — 4(a — 1) = (a-2)^2 \), то это выражение равно \(1\).

Таким образом, вся сумма равна \(1 + 1 = 2\).

Ответ: если \( a > 2 \), то \( 2 \); если \( 1 < a < 2 \), то \( -2 \).