ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(
\log_2{x} + 3\log_2{x} — 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{16}, 2
\)

2) \(
\log_3{x^2} — \log_3{x} — 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}, 9
\)

3) \(
(\lg{x})^2 — 4\lg{x} + 3 = 0 \Rightarrow x = 10, 1000
\)

4) \(
(\log_5{x})^2 — 5\log_5{x} + 2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}, 25
\)

5) \(
2\log_6{x} + 3\log_6{x} — 5 = 0 \Rightarrow x = 6
\)

6) \(
(\lg{(x + 2)})^2 — 8\lg{(x + 2)} + 7 = 0 \Rightarrow x = 8, 10^7 — 2
\)

1) \( \log_2{x} + 3\log_2{x} — 4 = 0 \);
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \), тогда:
\( \log_2{x_1} = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2} = -4, \, x_1 = 2^{-4} = \frac{1}{16} \);
\( \log_2{x_2} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} = 1, \, x_2 = 2^1 = 2 \);
Ответ: \( \frac{1}{16}; 2 \).

2) \( \log_3{x^2} — \log_3{x} — 2 = 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( \log_3{x_1} = \frac{1 — \sqrt{3}}{2} = -1, \, x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \);
\( \log_3{x_2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 2, \, x_2 = 3^2 = 9 \);
Ответ: \( \frac{1}{3}; 9 \).

3) \( (\lg{x})^2 — 2\lg{x} + 3 = 0 \);
\( (\lg{x})^2 — 4\lg{x} + 3 = 0 \);
\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда:
\( \lg{x_1} = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1, \, x_1 = 10^1 = 10 \);
\( \lg{x_2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3, \, x_2 = 10^3 = 1000 \);
Ответ: \( 10; 1000 \).

4) \( \log_5{x} + \log_5{5^2} = 2.5 \);
\( 2\log_5{x} + \log_5{5^2} — 5 = 0; \)
\( (\log_5{x})^2 — 5\log_5{x} + 2 = 0. \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 \), тогда:
\( \log_5{x_1} = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = 0.5, \, x_1 = 5^{0.5} = \sqrt{5} \);
\( \log_5{x_2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2, \, x_2 = 5^2 = 25 \);
Ответ: \( \sqrt{5}; 25 \).

5) \( 2\log_6{x} + 3\log_6{x} — 5 = 0 \);
\( D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49 \), тогда:
\( \log_6{x_1} = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2.5, \, x_1 \in \varnothing \);
\( \log_6{x_2} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1, \, x_2 = 6^1 = 6 \);
Ответ: \( 6 \).

6)
Уравнение:
\( \lg{(x + 2)} — 3\lg{(x + 2)} + 1 = 0 \).

Раскрываем скобки:
\( 2(\lg{(x + 2)} + 1) + 4(\lg{(x + 2)} — 3) = (\lg{(x + 2)} — 3)(\lg{(x + 2)} + 1) \).

Упрощаем:
\( (\lg{(x + 2)})^2 — 8\lg{(x + 2)} + 7 = 0 \).

Дискриминант:
\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 \).

Корни:
\( \lg{(x + 2)}_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1, \, x_1 + 2 = 10, \, x_1 = 8 \);
\( \lg{(x + 2)}_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7, \, x_2 + 2 = 10^7, \, x_2 = 10^7 — 2 \).

Ответ: \( x_1 = 8; x_2 = 10^7 — 2 \).