Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 108 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
К сплаву меди и цинка, который содержал меди на 4 кг больше, чем цинка, добавили 4 кг меди. Вследствие этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 7,5%. Сколько килограммов меди содержал сплав вначале?
Пусть изначально было \( x \) кг меди:
\(
x \cdot 100\% + 7,5\% = \frac{x+4}{x+x-4+4} \cdot 100\%;
\)
\(
\frac{x}{2x-4} + \frac{3}{40} = \frac{x+4}{2x} + \frac{3}{20} = \frac{x+4}{x};
\)
\(
20x^2 + 3x(x-2) = 20(x+4)(x-2);
\)
\(
20x^2 + 3x^2 — 6x = 20(x^2 — 2x + 4x — 8);
\)
\(
23x^2 — 6x = 20x^2 + 40x — 160;
\)
\(
3x^2 — 46x + 160 = 0;
\)
\(
D = 46^2 — 4 \cdot 3 \cdot 160 = 2116 — 1920 = 196;
\)
\(
x_1 = \frac{46 — 14}{2 \cdot 3} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3};
\)
\(
x_2 = \frac{46 + 14}{2 \cdot 3} = 10;
\)
Ответ: \( 5 \frac{1}{3} \) кг; \( 10 \) кг.
пусть изначально было \( x \) кг меди. тогда процентное содержание меди в начальном сплаве можно выразить как:
\(
\frac{x}{x + x — 4} \cdot 100\%.
\)
после добавления 4 кг меди масса меди стала равна \( x + 4 \), а общая масса сплава стала равна:
\(
(x + x — 4) + 4 = 2x.
\)
процентное содержание меди в новом сплаве стало равно:
\(
\frac{x + 4}{2x} \cdot 100\%.
\)
по условию задачи, процентное содержание меди увеличилось на \( 7,5\% \). составим уравнение:
\(
\frac{x + 4}{2x} \cdot 100\% = \frac{x}{x + x — 4} \cdot 100\% + 7,5.
\)
разделим обе части уравнения на \( 100\% \), чтобы избавиться от процентов:
\(
\frac{x + 4}{2x} = \frac{x}{2x — 4} + 0,075.
\)
умножим обе части уравнения на \( 2x(2x — 4) \), чтобы избавиться от дробей:
\(
(x + 4)(2x — 4) = x(2x) + 0,075 \cdot 2x(2x — 4).
\)
раскроем скобки:
левая часть:
\(
(x + 4)(2x — 4) = 2x^2 — 4x + 8x — 16 = 2x^2 + 4x — 16.
\)
правая часть:
\(
x(2x) + 0,075 \cdot 2x(2x — 4) = 2x^2 + 0,15x(2x — 4).
\)
раскроем скобки во втором слагаемом:
\(
0,15x(2x — 4) = 0,3x^2 — 0,6x.
\)
итого правая часть:
\(
2x^2 + 0,3x^2 — 0,6x = 2,3x^2 — 0,6x.
\)
получаем уравнение:
\(
2x^2 + 4x — 16 = 2,3x^2 — 0,6x.
\)
перенесём все члены в левую часть:
\(
2x^2 + 4x — 16 — 2,3x^2 + 0,6x = 0.
\)
приведём подобные члены:
\(
-0,3x^2 + 4,6x — 16 = 0.
\)
умножим уравнение на \(-10\), чтобы избавиться от дробей:
\(
3x^2 — 46x + 160 = 0.
\)
решим квадратное уравнение. для этого найдём дискриминант:
\(
D = (-46)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 160 = 2116 — 1920 = 196.
\)
найдём корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-46) — \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{46 — 14}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3};
\)
\(
x_2 = \frac{-(-46) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{46 + 14}{6} = \frac{60}{6} = 10.
\)
оба корня физически осмыслены. следовательно, начальное количество меди могло быть либо \( \frac{16}{3} \) кг (\(5 \frac{1}{3}\) кг), либо \(10\) кг.
Повторение курса алгебры
